Exercícios Resolvidos de O Poder do Teste

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Enunciado

Num certo banco de dados, o tempo para a realização das buscas é aproximadamente normal com média 53   s e desvio padrão 14   s . Modificou-se o sistema para reduzir o tempo. Foram contados os tempos para   30 buscas. Admita que as 30   observações possam ser consideradas uma amostra aleatória e que não houve alteração na variância. Use = 1 % .   Calcule o poder do teste se a verdadeira média de tempo fosse de 45 s .

Passo 1

Sabemos que o poder do teste é π μ = 1 - β ( μ ) ,

Onde:

β μ = P e r r o   t i p o   I I = P ( x - ∈ R A | H 1   v e r d a d e i r a )

Vamos estipular nossas hipóteses então, aqui o objetivo foi reduzir o tempo médio das buscas, que originalmente era de 53 s , então:

H 0 :   μ = 53

H 1 :   μ < 53

Assim estamos testando de fato se a média diminuiu.

Sabemos também que:

x - ~ N 53 ; 14 30

Passo 2

Para achar a RC, e consequentemente a RA, precisamos do nosso x - c r i t i c o , e, para isso, precisamos do z c r í t i c o . Aqui no teste unilateral inferior para média ele é:

z c r í t i c o = - z 1 - α

Como α = 0,01 :

z c r í t i c o = - z 1 - 0,01 = - z 0,99 = - 2,33

Então para achar o x - c r i t i c o , fazemos as operações inversas da padronização no z c r í t i c o (estamos “despadronizando”):

x - c r i t i c o = z c r í t i c o × σ n + μ

Sabemos pelo enunciado que μ = 53 ,   σ = 14 ,   n = 30 , substituindo:

x - c r i t i c o = - 2,33 × 14 30 + 53 = 47,05

Então nossas regiões são:

R C = {   x - < 47,05 }

R A = {   x - > 47,05 }

Passo 3

Então a probabilidade de erro tipo II vai ser, para a verdadeira média de 45 s :

β μ = 45 = P ( x - > 47,05 | μ = 45 )

= P Z > 47,05 - 45 14 30 = P Z > 0,8 = 1 - P Z < 0,8 = 1 - 0,7881 = 0,2119

Então o poder do teste será:

π μ = 1 - 0,2119 = 0,7881

Resposta

0,7881

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