Exercícios Resolvidos de Operações com matrizes

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Enunciado

Considere um tensor T dado por:

T = 0 1 0 0 0 1 4 - 17 8

a ) Encontre os autovalores de T .

b ) Encontre os autovetores de T .

c ) Será T diagonalizável? Em caso positivo, escreve a forma diagonal de T .

Passo 1

Fala aí galera, tudo bem?

Nessa questão recebemos a matriz T dada por:

T = 0 1 0 0 0 1 4 - 17 8

E, precisamos calcular os autovalores dessa matriz. Vocês lembram como fazemos isso?

Bom, pra calcular autovalores precisamos resolver a equação polinomial que surge do determinante:

det ⁡ T - λ I = 0

Depois de determinar os autovalores iremos determinar os autovetores fazendo:

A λ = λ b

E, por fim, devemos determinar se T é diagonalizável e a matriz diagonal associada.

A matriz diagonal é formada pelos autovalores de T .

Vem comigo que tudo vai ficar super claro 😊

Passo 2

Pra começar vamos calcular os autovalores de T . Temos:

T - λ I = - λ 1 0 0 - λ 1 4 - 17 8 - λ

Logo, o determinante dessa matriz vale:

λ 2 8 - λ + 4 - 17 λ = 0

∴ - λ 3 + 8 λ 2 - 17 λ + 4 = 0

⇒ λ 3 - 8 λ 2 + 17 λ - 4 = 0

Por inspeção, temos que:

λ = 4

é raiz da equação cúbica acima.

Daí, podemos reescrevê-la como:

λ 3 - 8 λ 2 + 17 λ - 4 = λ - 4 λ 2 - 4 λ + 1

Logo, precisamos identificar as raízes de:

λ 2 - 4 λ + 1 = 0

Por bháskara:

λ = 4 ± 4 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 1 2

Logo:

λ = 2 + 3

E:

λ = 2 - 3

Excelente! Esses são os 3 autovalores de T .

Passo 3

Vamos então calcular os autovetores associados.

Começando por λ = 4 , temos:

0 1 0 0 0 1 4 - 17 8 ⋅ x y z = 4 ⋅ x y z

Temos que:

y = 4 x z = 4 y 4 x - 17 y + 8 z = 4 z

Das duas primeiras equações temos:

y = 4 x

z = 16 x

Logo, o autovetor é dado por:

x ( 1,4 , 16 )

Já para λ = 2 + 3 , vamos ter:

0 1 0 0 0 1 4 - 17 8 ⋅ x y z = 2 + 3 ⋅ x y z

Temos o seguinte sistema:

y = 2 + 3 x z = 2 + 3 y 4 x - 17 y + 8 z = 2 + 3 z

Das duas primeiras equações, temos o autovalor dado por:

1,2 + 3 ,   2 + 3 2 = x ( 1 ,   2 + 3 ,   7 + 4 3 )

E, por fim, de modo análogo ao que encontramos anteriormente, quando λ = 2 - 3 , vem o seguinte autovalor.

x ( 1 ,   2 - 3 ,   1 - 4 3 )

Passo 4

Encontramos os seguintes autovetores para a matriz T :

1,4 , 16 ,   1 ,   2 + 3 ,   7 + 3 ,   1 ,   2 - 3 ,   1 - 4 3  

Como temos os 3 autovetores associados à matriz T são LI, dizemos que a soma de suas dimensões é igual à dimensão da matriz T . Portanto, T é diagonalizável!

Podemos escrever a matriz diagonal de T colocando os autovalores de T na diagonal principal:

D = 4 0 0 0 2 + 3 0 0 0 2 - 3

Prontinho galera! Com isso finalizamos a questão!

Espero que vocês tenham gostado e até a próxima 😊

Resposta

Resposta no texto.

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Em cada um dos problemas de 22 a 24, verifique se o vetor dado satisfaz a equação diferencial dada.24. x ' = 1 1 1 2 1 - 1 0 - 1 1 x,x = 6 - 8 - 4 e - t + 2 0 1 - 1 e 2 t
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