Medidas de Centralidade

Resumo Completo

Introdução

Cara, vemos ver agora as medidas de centralidade. Pelo nome você já deve desconfiar do que eu estou falando: média, mediana... você já pode ter ouvido falar delas.

Mas, por que estudar isso?

Vamos supor que você tenha um professor de Probest muuuito carrasco, que só passa provas difíceis e corrige essas provas querendo ferrar todo mundo. Você quer fazer uma reclamação na coordenação, mas que tipo de dados você poderia entregar pra eles?

Concorda comigo que se você tirasse a média das notas da turma, e ela fosse um valor bem ruim, você poderia apresentar isso?

As medidas de centralidade servem pra gente conseguir ter um indicativo do grupo todo de dados! Nesse nosso exemplo, nós queremos ter um único valor representativo para nosso conjunto de notas.

Medidas de Centralidade

Temos 3 típicas medidas super importantes que você precisa saber, vem comigo!

Média aritmética ( x ¯ ) Cara, essa é a medida mais famosa talvez.

Imagina que na nossa turma de ProBest só tenham 5 guerreiros, e as notas deles sejam essas aqui:

1.1 ,   1.5 ,   2.3 ,   2.3 ,   3.0

Então vamos ter que a média das notas é:

x ¯ = 1.1 + 1.5 + 2.3 + 2.3 + 3.0 5 = 2.04

Sempre que tivermos uma quantidade n de dados, tipo:

x 1 , x 2 , x 3 , , x n

A média vai ser dada por:

x ¯ = i = 1 n x i n

Mediana ( M d ) Esse aqui é o valor intermediário dos nossos dados, o cara que está no meio de todos os outros.

Se olharmos para as notas dos nossos guerreiros, concorda comigo então que a mediana seria essa aqui?

Já que ele é o cara que está no meio!

Um ponto muito importante aqui: jamais esqueça de colocar os valores em ordem crescente antes de identificar a mediana! Nesse exemplo que eu te dei, eles já estavam organizadinhos, mas nunca esquece de conferir isso antes, beleza?!

Mas, e se eu te desse uma quantidade par de valores, tipo 6 notas? Como a gente encontra a mediana?

1.1 ,   1.5 ,   2.3 ,   2.3 ,   3.0 ,   3.4

Concorda comigo que não tem exatamente um valor que está no meio?

Nesses casos, nossa mediana vai ser a média dos dois carinhas que estão no meio!

Para um caso genérico com n valores, vamos seguir o seguinte passo a passo. Primeiro, vamos identificar se o seu número de dados n é par ou ímpar, e depois fazer o seguinte:

m e d i a n a = V a l o r   c e n t r a l = x n + 1 2     ,                                                                                       s e   n   í m p a r m é d i a   d o s   v a l o r e s   c e n t r a i s = x n 2 + x n 2 + 1 2     ,                     s e   n   p a r

Por favor, não esquece de colocar os dados em ordem crescente haha... vou te perturbar mais com isso ainda!

Moda ( M o ) É o valor que mais aparece nos seus dados. Você só vai precisar olhar pra eles, e ver quem é o cara que mais aparece. Sem fórmula, sem conta! Haha

Novamente, olhando pras notas dos alunos:

1.1 ,   1.5 ,   2.3 ,   2.3 ,   3.0

O carinha que mais aparece é o 2.3 ! Ele é a moda. :D

Vamos praticar isso tudo aí junto?

Se liga no exemplo abaixo:

Em uma turma de Cálculo da UFRJ temos alunos das seguintes idades:

Para o cálculo da média devemos somar toooodas as idades e dividir pelo número total de alunos.

N º   a l u n o s   n = 64

x ¯ = 16 + 17 + 18 + 18 + 18 + 17 + + 19 + 18 + 18 64 = 19,47

Mediana = C o m o   n   é   p a r S o m a   v a l o r e s   c e n t r a i s 2 = 19 + 19 2 = 19

M o d a = V a l o r   q u e   m a i s   a p a r e c e = 21

Tranquilo até aqui?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Elaboração Própria

As idades de 11 alunos de uma sala são:

18,18,19,19,19,20,22,22,22,23,25

Qual a moda, média e a mediana das idades? Qual a classificação da distribuição desses dados (simétrica, assimétrica positiva, assimétrica negativa)?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

A moda são os valores que mais aparecem, então no nosso caso temos duas modas: 19 e 22 , já que essas duas idades aparecem três vezes.

A média, fazemos a média aritmética como sempre fizemos:

x - = 18 + 18 + 19 + 19 + 19 + 20 + 22 + 22 + 22 + 23 + 25 11 = 20,64

A mediana é o valor central dos dados em ordem crescente/decrescente... que é o 20 .

Como nossa média é diferente da nossa mediana, temos uma distribuição assimétrica. Mas de qual tipo? Como a média é MAIOR que a mediana... vai ser uma assimétrica positiva!

Passo 2

Resposta

M o = 19   e   22

x - = 20,64

M d = 20

Assimétrica positiva

Exercício Resolvido #2

Enunciado

UERJ – Lista Prof Fabiano

Considerando os dados abaixo:

  1. Calcule a média;
  2. Calcule a mediana;
  3. Calcule a moda;
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

(a)

Para dados grupados calculamos a média usando:

x ¯ = i = 1 n x i n

x ¯ = 80 + 80,5 + 83,5 + + 104 42 = 90,38

Passo 2

(b)

Pra calcular a mediana, temos que ver qual é o valor central.

Temos um n = 42 , ou seja, n é par. Assim o termo central será:

M d = n 21 + n 22 1 2 = 89,5 + 89,5 2 = 89,5

Passo 3

(c)

Para calcular a moda, temos primeiro que encontrar o termo que mais aparece, portanto devemos analisar a tabela:

M o d a = 87

Resposta

a) 90,38

b) 89,5

c) 87

Exercício Resolvido #3

Enunciado

EACH, USP – Slides Prof. Camilo Rodrigues Neto

Suponha que parafusos a serem utilizados em tomadas elétricas são embaladas em caixas rotuladas como contendo 100 unidades. Em uma construção, 10 caixas de um lote tiveram o número de parafusos contados, fornecendo os valores 98 ,   102 ,   100 ,   100 ,   99 ,   97 ,   96 ,   95 ,   99   e   100 . Calcule as medidas resumo de posição (média, mediana e moda) para o número de parafusos por caixa.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Começando pela média:

x - = 98 + 102 + 100 + 100 + 99 + 97 + 96 + 95 + 99 + 100 10 = 98,6

Para a mediana, vamos primeiro ordenar nossos dados em ordem crescente:

95,96,97,98,99,99,100,100,100,102

Pegando os dois valores centrais e tirando a média (por que nossa amostra tem tamanho com número par!):

M d = 99 + 99 2 = 99

O valor que mais aparece é 100 , então:

M o = 100

Resposta

x - = 98,6

M d = 99

M o = 100

Exercício Resolvido #4

Enunciado

EACH, USP – Slides Prof. Camilo Rodrigues Neto

Foram coletadas 150 observações da variável x , representando o número de vestibulares prestados por um aluno até passar. A tabela de frequência para x é a seguinte:

Calcule as medidas de posição da variável x e da variável despesa com o vestibular definida como d = 50 x + 1300 , onde 50 é o custo com a inscrição por vestibular e 1300 o custo com a preparação para o vestibular, assumido ser realizado uma única vez.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Medidas de posição são as médias, medianas e modas dos dados.

Começando por x , a média vai ser dada pela média aritmética. No nosso caso temos dados numa tabela de freqüência, então nossa média aritmética é calculada por:

x - = x i f i N = 1 × 75 + 2 × 47 + 3 × 21 + 4 × 7 150 = 1,73

A mediana vai ser o valor central, mas não vamos precisar escrever todos os 150 valores em ordem para ver quem tá no meio, repara comigo... temos 150 dados, então os centrais vão estar nas posições 75 e 76 , certo? Se ficar com dúvida, testa pra um número pequeno, tipo 10 :

1,2 , 3,4 , 5,6 , 7,8 , 9,10

Os valores centrais são 5 e 6 , concorda?

Beleza, então sabendo quem são as posições dos valores centrais, vamos na tabela de frequência descobrir o valor desses caras. Repara que x = 1 aparece 75 vezes, então a posição 75 é x = 1 . E a posição 76 vai ser a imediatamente após a 76 , certo? Que é quando x = 2 . Então nossa mediana vai ser a média entre esses dois valores:

M d = 1 + 2 2 = 1,5

E para a moda... é só ver qual x tem maior frequência, que é o x = 1 . Então:

M o = 1

Passo 2

Para calcular os valores de d , basta substituirmos os x que existem na equação:

d = 5 0 x + 1300

Então:

d 1 = 50 × 1 + 1300 = 1350

d 2 = 50 × 2 + 1300 = 1400

d 3 = 50 × 3 + 1300 = 1450

d 4 = 50 × 4 + 1300 = 1500

Para calcular a média, vamos usar a mesma fórmula que usamos com a frequência relativa (que é a mesma frequência do x que usamos na equação de cada d ):

d - = d i f i N = 1 350 × 75 + 140 0 × 4 7 + 145 0 × 21 + 150 0 × 7 150 = 1386,7

A agora a posição 75 é ocupada por 1350 e a posição 76 por 1400 , então a mediana é:

M d d = 1350 + 1400 2 = 1375

E a moda é o valor com mais frequência, o d relacionado ao x = 1 , que é o de maior freqüência, ou seja, d 1 :

M o ( d ) = 1350

Resposta

x - = 1,73   ;   M d x = 1,5   ;   M o x = 1

d - = 1386,7   ; M d d = 1375   ;   M o d = 1350

Exercício Resolvido #5

Enunciado

EACH, USP – Slides Prof. Camilo Rodrigues Neto

As notas finais de uma prova do curso foram:

7,5 , 4,5 , 6,3 , 8,4 , 5,4 , 6,4 , 5,6 , 4,6 , 6,3 , 8,4 , 5,4 , 5,5 , 6

Separe os dados em dois grupos, os aprovados ( > = 5 ) e os reprovados.

a) Organize os dados, calcule a média, a mediana e a moda dos dois grupos.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Reprovados em ordem crescente:

3,3 , 4,4 , 4,4 , 4,4 , 4 9   e l e m e n t o s

Aprovandos em ordem crescente:

5,5 , 5,5 , 5,5 , 5,6 , 6,6 , 6,6 , 6,7 , 8,8 16   e l e m e n t o s

Média dos reprovados:

r - = 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 9 = 3,78

Mediana é o valor central, que é 4 .

Moda é o valor que mais aparece, que é 4 também. Então:

M d r = M o r = 4

Passo 2

Agora os aprovados, começando pela média:

a - = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 7 + 8 + 8 16 = 5,875

Mediana é o valor central que é:

M d a = 6 + 6 2 = 6

E a moda é o valor que mais aparece, ou seja:

M o a = 5

Passo 3

Resposta

r - = 3,78

M d r = M o r = 4

a - = 5,875

M d a = 6

M o a = 5

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