Medidas de Dispersão
Teoria
Introdução
Vamos supor que você tenha um professor de Probest muuuito carrasco, que só passa provas difíceis e corrige essas provas querendo ferrar todo mundo. Você quer fazer uma reclamação na coordenação, mas que tipo de dados você poderia entregar pra eles?
Concorda comigo que se você tirasse a média das notas da turma, e ela fosse um valor bem ruim, você poderia apresentar isso?
Você tirou a média das notas da turma, e foi lá na coordenação feliz da vida com a conclusão de que a média foi realmente baixa, e que isso representava que o professor era ruim. Mas você, jovem gafanhoto, esqueceu de ver que aquele seu amigo nerd, que sempre tira 10, estava fazendo a matéria com você, e como sempre ele tirou 10 na prova.
Quando seu coordenador olhar aquele 10zão lá, ele vai perguntar: todas as notas estão próximas da média? Em termos matemáticos: a dispersão das notas em torno da média é baixa?
É necessário ter uma dispersão pequena, para provar que realmente todos os alunos tiveram notas baixas e próximas a média. Algumas pessoas podem de fato ter aprendido com o professor e ter ido bem! A média não pega essas pessoas.
Medidas de Dispersão - Variância
As medidas de dispersão indicam o espalhamento dos valores da amostra em torno da medida de centralidade.
Você já pode ter ouvido falar em alguma delas, mas, caso não, vou te apresentar agora: variância amostral, desvio padrão amostral e coeficiente de variação amostral.
Vou te ensinar a calcular cada uma dessas medidas, vem comigo!
Variância Populacional
Imagina que um treinador registrou em uma tabela o tempo que cada aluno correu na esteira durante 5 dias diferentes:
Para calcularmos a variância, precisamos encontrar a média dos tempos de cada atleta:
Luana:
Marcelo:
Paulo:
Agora que já conhecemos o tempo médio de cada atleta, podemos utilizar a variância para obter a distância dos períodos de cada corrida em relação a esse valor médio.
Para calcular a variância de cada corredor, é utilizada a seguinte fórmula:
onde é a quantidade de elementos.
Vamos calcular a variância para cada atleta. Calcularemos então algo com essa carinha:
Dessa forma,
Luana:
Marcelo:
Paulo:
Assim, de acordo com os cálculos da variância, o atleta que apresenta os tempos mais dispersos da média é o Marcelo. Já Paulo e Luana apresentaram tempos mais próximos de sua média do que os demais corredores.
Podemos concluir isso pois quanto menor a variância, mais próximos os valores estão da média. Da mesma forma, quanto maior ela é, mais os valores estão distantes da média. Belezinha?!
Repare que no exemplo anterior calculamos a variância de todos os dias em que os alunos correram na esteira de acordo com o treinador. Portanto, fizemos o cálculo da Variância Populacional.
Variância amostral :
Agora imagine que o treinador deseja analisar os tempos dos alunos ao longo de um ano. Serão muitos dados, não é mesmo? Nesse caso, a melhor coisa a se fazer seria que o pesquisador selecionasse apenas alguns registros de tempo, uma espécie de amostra. Esse cálculo seria de uma variância amostral. A única diferença entre a variância amostral e o cálculo que realizamos é que o divisor é o número de dias subtraído de 1:
Show de bola?!
Medidas de Dispersão - Desvio Padrão
Desvio-padrão Populacional
O desvio-padrão populacional mede a mesma coisa que a variância populacional; a gente só tira a raiz quadrada porque ela se torna uma medida mais fácil de visualizar.
No nosso exemplo, ficaria:
Luana:
Marcelo:
Paulo:
Show de bola?!
Ela é mais fácil de visualizar porque se a gente calcular, por exemplo, a variância da medida de comprimento de peças produzidas em , teremos no final desse cálculo algo em (elevamos ao quadrado no cálculo da variância!). Quando tiramos a raiz e passamos para o desvio-padrão, voltamos para a unidade original . Show de bola?!
Desvio-padrão amostral :
Da mesma forma, o desvio-padrão amostral mede a mesma coisa que a variância; a gente só tira a raiz quadrada porque ela se torna uma medida mais fácil de visualizar.
Belezura?!
Medidas de Dispersão - Coeficiente de variação amostral
O coeficiente de variação é simplesmente a razão entre o desvio-padrão e a média amostral :
Ele é usado para analisar a dispersão em termos relativos a seu valor médio quando duas ou mais séries de valores apresentam unidades de medidas diferentes. Sacou?
Então, como o coeficiente de variação analisa a dispersão em termos relativos, ele será dado em %. Quanto menor for o valor do coeficiente de variação, mais homogêneos serão os dados, ou seja, menor será a dispersão em torno da média. De uma forma geral, se o :
Exemplo
Compare a variabilidade relativa do tempo de reação de um analgésico B com a variabilidade do peso das pessoas que se submeteram à dosagem desse analgésico. As médias e os desvios padrão foram:AnalgésicoPeso das pessoas:
Calculando o coeficiente de variação para os dois itens, temos:
Analgésico:
Peso das pessoas:
Assim, comparando o coeficiente de variação do tempo de reação do analgésico e o do peso das pessoas, podemos concluir os dados referentes ao peso são mais homogêneos que os do tempo de reação do analgésico, concorda?!
Tranquilo? Nos vemos nos exercícios!
Medidas de Dispersão - Desvio Padrão
Medidas de Dispersão - Coeficiente de variação amostral
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UERJ-LISTA 1- PROF FABIANO-1
Os dados da tabela abaixo são referentes a peso e comprimento de manilhas de cimento para uso em obras públicas. Calcule para as características avaliadas (peso e comprimento) as seguintes estatísticas:
- Variância e desvio-padrão;
Passo 1
(a)
Vamos usar:
Temos que:
Então peso:
Comprimento:
Passo 2
Desvio padrão é a raiz quadrada da variância, então:
Peso:
Comprimento:
Resposta
Exercício Resolvido #2
João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 378 - 17
Será mera coincidência?
Considere o seguinte conjunto de dados:
a) Calcule as variâncias amostrais de X e de Y, ou seja,
b) Construa uma nova variável e calcule a sua variância amostral
c) Compare com
d) Como você explica essa coincidência?
Passo 1
Queremos a Variância Amostral, portanto vamos usar:
Temos que:
Passo 2
- Para X:
- Para Y:
- Para Z:
Logo
Passo 3
Logo
Passo 4
b) Construa uma nova variável e calcule a sua variância amostral
Logo
Passo 3
c) Compare com
Agora vamos comparar o resultado obtido em com essa expressão dada.
Lembre-se que e que por sua vez
Vamos calcular então :
Então teremos:
Ou seja,
Passo 4
d) Como você explica essa coincidência?
Essa coincidência não é tããão coincidência assim. Se antes tínhamos a seguinte propriedade:
Agora temos na versão amostral
Resposta
a) e
b) 6,2
c)
d) Se antes tínhamos a mesma relação para as variâncias, teremos para as variâncias amostrais.
Exercício Resolvido #3
EACH, USP – Slides Prof. Camilo Rodrigues Neto
Suponha que parafusos a serem utilizados em tomadas elétricas são embaladas em caixas rotuladas como contendo unidades. Em uma construção, caixas de um lote tiveram o número de parafusos contados, fornecendo os valores . Calcule as medidas resumo de dispersão.
Passo 1
Começando pela variância:
Calculando a média dos dados, vemos que:
Então...
Passo 2
E o desvio padrão é a raiz dissaê...
Passo 3
Resposta
Exercício Resolvido #4
EACH, USP – Slides Prof. Camilo Rodrigues Neto
Numa classe com alunos de um curso de inglês, os alunos indicaram o número de outras línguas (além de português e inglês) com que tinham alguma familiaridade. O resultado foi o seguinte. Obtenha as medidas resumo de dispersão (variância e desvio padrão).
Passo 1
Primeiro vamos calcular a média:
Então a variância:
E o desvio padrão, é só tirar a raiz da variância:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Elaboração Própria
Medidas as estaturas de indivíduos, obtivemos média de e desvio padrão de . O peso médio desses mesmos indivíduos é , com um desvio padrão de . Esses indivíduos apresentam maior variabilidade em estatura ou em peso?
Passo 1
Toda vez que for falado de maior variabilidade estamos lidando com o coeficiente de variação ! Por que ele dá pra gente o quanto uma medida está variando em relação a própria média.
Sabendo disso, vamos calcular o para as estaturas:
E para os pesos:
Passo 2
Como o da estatura é maior, a maior variabilidade é da estatura!
Resposta
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