Medidas de Dispersão

Resumo Completo

Introdução

Vamos supor que você tenha um professor de Probest muuuito carrasco, que só passa provas difíceis e corrige essas provas querendo ferrar todo mundo. Você quer fazer uma reclamação na coordenação, mas que tipo de dados você poderia entregar pra eles?

Concorda comigo que se você tirasse a média das notas da turma, e ela fosse um valor bem ruim, você poderia apresentar isso?

Você tirou a média das notas da turma, e foi lá na coordenação feliz da vida com a conclusão de que a média foi realmente baixa, e que isso representava que o professor era ruim. Mas você, jovem gafanhoto, esqueceu de ver que aquele seu amigo nerd, que sempre tira 10, estava fazendo a matéria com você, e como sempre ele tirou 10 na prova.

Quando seu coordenador olhar aquele 10zão lá, ele vai perguntar: todas as notas estão próximas da média? Em termos matemáticos: a dispersão das notas em torno da média é baixa?

É necessário ter uma dispersão pequena, para provar que realmente todos os alunos tiveram notas baixas e próximas a média. Algumas pessoas podem de fato ter aprendido com o professor e ter ido bem! A média não pega essas pessoas.

Medidas de Dispersão

As medidas de dispersão indicam o espalhamento dos valores da amostra em torno da medida de centralidade.

Você já pode ter ouvido falar em alguma delas, mas, caso não, vou te apresentar agora: variância amostral, desvio padrão amostral e coeficiente de variação amostral.

Vou te ensinar a calcular cada uma dessas medidas, vem comigo!

Variância amostral ( s 2 ) :

Imagina que as notas da sua turma de ProBest tenham sido as seguintes:

1.1 ,   1.5 ,   2.3 ,   2.3 ,   3.0

Então vamos ter que a variância dessas notas é:

s ² = 1.1 - 2.04 2 + 1.5 - 2.04 2 + 2.3 - 2.04 2 + 2.3 - 2.04 2 + 3.0 - 2.04 2 4 = 0,446

Sempre que tivermos uma quantidade n de dados, tipo:

x 1 , x 2 , x 3 , , x n

A variância vai ser dada por:

s 2 = i = 1 n x i - x - 2 n - 1

A ideia aqui é fazermos o somatório das distâncias de cada valor dos seus dados ( x i ) em relação a média ( x - ) .

Percebe que com isso estamos medindo exatamente o que queríamos? A dispersão em torno da média!

Desvio-padrão amostral ( s ) :

s = s ²

O desvio-padrão mede a mesma coisa que a variância; a gente só tira a raiz quadrada porque ela se torna uma medida mais fácil de visualizar.

Ela é mais fácil de visualizar porque se a gente calcular, por exemplo, a variância da medida de comprimento de peças produzidas em c m , teremos no final desse cálculo algo em c m ² (elevamos ao quadrado no cálculo da variância!). Quando tiramos a raiz e passamos para o desvio-padrão, voltamos para a unidade original ( c m ) .

Coeficiente de variação amostral ( c v ) :

c v = s x ¯

O coeficiente de variação é simplesmente a razão entre o desvio-padrão ( s ) e a média amostral ( x - ) .

Vamos voltar para o exemplo dos alunos da turma de cálculo, e calcular as medidas de dispersão?

Falamos que em uma turma de Cálculo a idade dos alunos é:

n = 64  

x ¯ = 19,47

Então:

s 2 = i = 1 n x i - x - 2 n - 1 = i = 1 n x i - 19,47 2 64 - 1 = 16 - 19,47 2 + 17 - 19,47 2 + + ( 23 - 19,47 ) 2 63 = 4,634

s = s ² = 4,634 = 2,15

c v = s x ¯ = 2,15 19,47 = 0,11

Tranquilo? Nos vemos nos exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

UERJ-LISTA 1- PROF FABIANO-1

Os dados da tabela abaixo são referentes a peso ( k g ) e comprimento ( d m ) de manilhas de cimento para uso em obras públicas. Calcule para as características avaliadas (peso e comprimento) as seguintes estatísticas:

  1. Variância e desvio-padrão;
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

(a)

Vamos usar:

s 2 = x i 2 - n . x ¯ 2 n - 1

Temos que:

x ¯ = i = 1 n x i n

Então peso:

x ¯ = 23 + 22,7 + + 19,5 10 = 20,58

s x 2 = ( 23 2 + 22,7 2 + + 19,5 2 ) - 10 × 20,58 2 9 = 14,2973

Comprimento:

y ¯ = 104 + 105 + + 99 10 = 101,3

s y 2 = ( 104 2 + 105 2 + + 99 2 ) ) - 10 × 101,3 2 9 = 17,7889

Passo 2

Desvio padrão é a raiz quadrada da variância, então:

Peso:

s x   = 14,2973 = 3,7812

Comprimento:

s y = 17,7889 = 4,2177

Resposta

Exercício Resolvido #2

Enunciado

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 378 - 17

Será mera coincidência?

Considere o seguinte conjunto de dados:

a) Calcule as variâncias amostrais de X e de Y, ou seja, S x 2   e   S Y 2

b) Construa uma nova variável Z = X + Y e calcule a sua variância amostral S z 2

c) Compare S z 2 com S x 2 + S y 2 + 2 S x y

d) Como você explica essa coincidência?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Queremos a Variância Amostral, portanto vamos usar:

s 2 = x i 2 - n . x ¯ 2 n - 1

Temos que:

x ¯ = i = 1 n x i n

Passo 2

  • Para X:
  • x - = 2 + 4 + 7 + 3 + 6 5 = 22 5 = 4,4

    Logo

    S x 2 = 2 2 + 4 2 + 7 2 + 3 2 + 6 2 - 5 × 4,4 2 5 - 1 = 114 - 5 × 19,36 4 = 17,2 4

    S X 2 = 4,3

    Passo 3

  • Para Y:
  • y - = 6 + 2 + 2 + 9 + 0 5 = 19 5 = 3,8

    Logo

    S Y 2 = 6 2 + 2 2 + 2 2 + 9 2 + 0 2 - 5 × 3,8 2 5 - 1 = 125 - 5 × 14,44 4 = 52,8 4

    S Y 2 = 13,2

    Passo 4

    b) Construa uma nova variável Z = X + Y e calcule a sua variância amostral S z 2

  • Para Z:

z - = 8 + 6 + 9 + 12 + 6 5 = 41 5 = 8,2

Logo

S Z 2 = 8 2 + 6 2 + 9 2 + 12 2 + 6 2 - 5 × 8,2 2 5 - 1 = 361 - 5 × 67,24 4 = 24,8 4 = 6,2

Passo 3

c) Compare S z 2 com S x 2 + S y 2 + 2 S x y

Agora vamos comparar o resultado obtido em S Z 2 com essa expressão dada.

Lembre-se que S X Y = C o v ( X , Y ) e que por sua vez

C o v X Y = i = 1 n x i y i - n x - y -   n - 1

Vamos calcular então S X Y :

C o v X Y = i = 1 n ( x i y i - n x - y - )   n - 1

= { 2 × 6 + 4 × 2 + 7 × 2 + 3 × 9 + 6 × 0 ] } - 5 4,4 × 3,8 4

C o v X Y = S X Y = 61 - 83,6 4 = 5,65

Então teremos:

S X 2 + S Y 2 + 2 S X Y = 4,3 + 13,2 + 2 × - 5,65 = 17,5 - 11,3 = 6,2

Ou seja,

S X 2 + S Y 2 + 2 S X Y = S Z 2

Passo 4

d) Como você explica essa coincidência?

Essa coincidência não é tããão coincidência assim. Se antes tínhamos a seguinte propriedade:

V a r X + Y = V a r X + V a r Y + 2 C o v ( X Y )

Agora temos na versão amostral

S X 2 + S Y 2 + 2 S X Y = S X + Y 2

Resposta

a)   17,2 4 e 52,8 4

b) 6,2

c) S X 2 + S Y 2 + 2 S X Y = S Z 2

d) Se antes tínhamos a mesma relação para as variâncias, teremos para as variâncias amostrais.

Exercício Resolvido #3

Enunciado

EACH, USP – Slides Prof. Camilo Rodrigues Neto

Suponha que parafusos a serem utilizados em tomadas elétricas são embaladas em caixas rotuladas como contendo 100 unidades. Em uma construção, 10 caixas de um lote tiveram o número de parafusos contados, fornecendo os valores 98 ,   102 ,   100 ,   100 ,   99 ,   97 ,   96 ,   95 ,   99   e   100 . Calcule as medidas resumo de dispersão.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Começando pela variância:

s ² = i = 1 n ( x i - x - ) ² n - 1

Calculando a média dos dados, vemos que:

x - = 98,6

Então...

s 2 = 98 - 98,6 2 + 102 - 98,6 2 + 100 - 98,6 2 + 100 - 98,6 2 10 - 1

+ 99 - 98,6 2 + 97 - 98,6 2 + 96 - 98,6 2 + 95 - 98,6 2 + 99 - 98,6 2 + ( 100 - 98,6 ) ² 10 - 1

s ² = 4 , 49

Passo 2

E o desvio padrão é a raiz dissaê...

s = 4,49 = 2 , 12

Passo 3

Resposta

s ² = 4 , 49

s = 2 , 12

Exercício Resolvido #4

Enunciado

EACH, USP – Slides Prof. Camilo Rodrigues Neto

Numa classe com 12   alunos de um curso de inglês, os alunos indicaram o número de outras línguas (além de português e inglês) com que tinham alguma familiaridade. O resultado foi o seguinte :   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   2 ,   2   e   4 . Obtenha as medidas resumo de dispersão (variância e desvio padrão).

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Primeiro vamos calcular a média:

x - = 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 4 12 = 1,08 3

Então a variância:

s ² = i = 1 n ( x i - x - ) ² n - 1

s ² = 0 - 1,08 3 2 × 4 + 1 - 1,08 2 × 5 + 2 - 1,08 2 × 2 + 4 - 1,08 2 12 - 1

s ² = 1 , 3561

E o desvio padrão, é só tirar a raiz da variância:

s = 1,3561 = 1,1 645

Resposta

s ² = 1,3561

s = 1,1645

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Elaboração Própria

Medidas as estaturas de 1017 indivíduos, obtivemos média de 162,2   c m e desvio padrão de 8,01   c m . O peso médio desses mesmos indivíduos é 52   k g , com um desvio padrão de 2,3   k g . Esses indivíduos apresentam maior variabilidade em estatura ou em peso?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Toda vez que for falado de maior variabilidade estamos lidando com o coeficiente de variação c v ! Por que ele dá pra gente o quanto uma medida está variando em relação a própria média.

Sabendo disso, vamos calcular o c v para as estaturas:

c v = s x - = 8,01 162,2 = 0,0494 4,94 %

E para os pesos:

c v = s x - = 2,3 52 = 0,0442 4,42 %

Passo 2

Como o c v da estatura é maior, a maior variabilidade é da estatura!

4,94 % > 4,42 %

Resposta

A   e s t a t u r a .

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