Introdução à Estatística

Resumo Completo

Introdução

Cara, vamos ver agora uma parte da matéria super importante! Vou te apresentar a nossa querida estatística.

Mas, que parada é essa aí?!

Bom, a estatística é uma ciência de análise de dados. Aqui aprendemos a como coletar, organizar e analisar dados de forma que a gente possa tirar conclusões corretas a partir deles.

Pensa aí nas pesquisas eleitorais, nos estudos de como uma bactéria se propaga no corpo humano, entre várias outras coisas... Pra que a gente possa entender essas coisas, precisamos coletar dados e depos analisá-los!

Primeiro de tudo, quero que você entenda a diferença entre dois conceitos muito importantes, vem comigo!

População x Amostra

Vamos supor que você queira avaliar os níveis de violência da sua cidade, só que você só tem os dados relativos a roubos, furtos e essas coisas da sua rua.

Nesse caso:

População todas as ruas da cidade.

Amostra a sua rua.

Já deu pra você sentir o feeling da coisa, né?

Imagina aí um bolo bem grande e gostoso. Esse bolo inteiro seria a nossa população. Se a gente tirasse uma fatia dele, essa fatia seria a amostra. Pensa sempre nesse exemplo que você não esquece mais!

População é o conjunto dos elementos que você quer avaliar algumas propriedades. Como geralmente a população é gigante, ou até infinita, fica muito difícil avaliar ela como um todo. Surge então a amostra, que é uma pequena parte dessa população.

Outro ex: O datafolha e o Ibope fazem exatamente isso nas pesquisas de voto na eleição. Como é impossível pra eles saberem a opinião de toda a população brasileira, eles fazem uma pesquisa de intenção de votos com uma amostra da população e tiram conclusões sobre toda a população.

Sim, analisando os dados da amostra, você pode tirar conclusões sobre a população, e o nome disso é inferência! A gente vai começar a fazer isso o tempo todo a partir de agora.

Maass... pra isso, você tem que garantir que essa sua amostra é digna de confiança, que ela realmente representa bem a sua população.

Exemplo: suponha que você more na rua mais violenta da cidade; talvez a sua rua não seja uma boa amostra, concorda? Talvez ela não represente fielmente toda a sua cidade.

A gente precisa saber coletar bem uma amostra. Por isso é tão importante a gente estudar essa tal de estatística! Haha

Observações:

  • População não tem nada a ver com ser vivo não, pode ser população de geladeira, de cerveja, do que você tiver a fim.
  • Censo é quando é feito um levantamento de toda a população, sem utilização de uma amostra. O IBGE faz uma porrada de censos.
  • Em muitos exercícios lá pra frente vai ser essencial notar a diferença entre população e amostra, então se você não entendeu, volte uma casa e leia de novo.

Tipos de Dados

Quando fazemos um levantamento de dados, sempre estamos analisando uma variável, concorda? Seja ela numérica (n° de quartos de um apartamento, nº de alunos, ...) ou não (avaliar algo em regular, bom, ruim, ...).

Podemos classificar essas variáveis da seguinte maneira:

Teoria da Amostragem

Cara, a teoria da amostragem nada mais é do que estudar as relações entre uma população e as amostras que são extraídas dela.

Muitas vezes a gente não conhece algumas grandezas, que chamamos de parâmetros, da população (média, variância, proporção,...). Mas a gente pode estimar esses parâmetros através das nossas amostras!

Cada grandeza populacional tem a sua respectiva estatística amostral.

Ex: A média populacional μ pode ser estimada pela amostral x ¯ .

Outras relações:

σ 2   s 2

Esse σ ² é a variância populacional, e o s ² é nossa variância amostral.

σ   s

Da mesma forma, σ é o desvio-padrão da população, e s é o desvio-padrão amostral.

p p ^

Peraê, que p é esse aí?! Agora em estatística também vamos trabalhar com uma tal de proporção! Ela nada mais vai ser que um parâmetro, que nem nossa média, variância e tudo mais. Mas comé que calcula isso?  Vamos supor que numa população de 10000 pessoas, 7500 pessoas tenham o cabelo castanho. Qual vai ser a nossa proporção populacional  p  de pessoas com cabelo castanho? Só dividir o número de elementos com as características que queremos pelo tamanho da população:

p = 7500 10000 = 0,75

E da mesma forma que a gente tem uma proporção populacional, também vamos ter uma proporção amostral  p ^ .  

p ^  também vai ser um estimador natural de p !

 

Então supõe comigo que a gente só tem uma amostra de 20 pessoas dessa população de 10000 pessoas, e a gente quer estimar o valor de  p . Para isso, vamos calcular  p ^ , que vai ser a proporção de pessoas com cabelo castanho na nossa amostra! Digamos que dessas 20 pessoas, 13 tem cabelo castanho. Então nosso  p ^  vai ser: 

p ^ = 13 20 = 0,65

De forma literal, supondo que q seja o número de elementos da amostra com certa característa e n seja o tamanho da amostra, nossa proporção amostral p ^ vai ser isso aqui:

p ^ = q n

De boa até aqui?! Não desiste de mim não, vamos continuar.

Tipos de Amostragem

Existem algumas formas bem características de se selecionar uma amostra. Por exemplo, podemos escolher 10 lápis numa caixa com 100 lápis ou podemos ter uma amostra de pessoas voluntárias a fazer um teste específico.

Nesses dois casos, não temos nenhuma relação probabilística na hora de retirar a amostra, então não será neles que focaremos.

Vamos conhecer os tipos de amostragem probabilísticos:

Amostragem Aleatória Simples

É o mais simples, como o nome já diz, a gente enumera a população e vai sorteando, com reposição, até a gente ter nossa amostra completa.

Amostragem Sistemática

N é o tamanho da população e nossa amostra tem tamanho n .

Passo-a-passo:

  1. Calcular a = N n , a é a amplitude do intervalo de amostragem;
  2. Sortear um valor inicial, x , entre 1 e a ;
  3. Completar a amostra, selecionando os elementos: x ,   x + a ,   x + 2 a , , x + n - 1 a .

Ex:

Se N = 100 e n = 10 :

a = 100 10 = 10

Se eu escolher x = 3 pra começar minha amostra, então minha amostra seria:

A m o s t r a = { 3,13,23,33,43,53,63,73,83,93 }

Beleza?

Amostragem Estratificada

Acontece quando a nossa população pode ser dividida em subpopulações. Aí na hora de selecionar a amostra, teremos que escolher de forma igualmente proporcional elementos de todas as subpopulações.

Ex: uma população de celulares pode ser dividida em subpopulações de acordo com a marca por exemplo.

Número de Amostras Possíveis

O número de amostras possíveis para uma população depende se a extração é feita com ou sem reposição:

Com reposição     N n

Sem reposição   C N n

Tranquilo até aqui? Nos vemos nos exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

PUCRIO-P1-2011.2-1a)
  1. Defina população e amostra. Dê exemplos.
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Esses conceitos são realmente muito importantes...

População seria um grupo formado por todos os elementos cujas características a gente quer conhecer e amostra seria um subconjunto desse grupo, no qual podemos medir essas características para estimar as características da população.

Um exemplo muito simples é o da eleição.

População seria, por exemplo, todos os brasileiros que votam e decidem a eleição. Amostra seria o grupo de brasileiros entrevistados pelo Ibope ou coisa do tipo.

Resposta

Exercício Resolvido #2

Enunciado

CEFET -Prof Anna Regina

Um administrador hospitalar faz uma pesquisa com as pessoas que estão na fila de espera para serem atendidas pelo sistema SUS.

  1. Se para realizar esta pesquisa, o administrador resolve entrevistar uma a cada 10 pessoas da fila, que tipo de amostragem ele realizou?
  2. As pessoas desta fila foram divididas em três grupos, de acordo com sua doença, cujos tamanhos são, respectivamente, N 1 = 40 ,   N 2 = 100 e N 3 = 60 . sabendo que, ao ser realizada uma amostragem estratificada, nove elementos da amostra foram retirados do terceiro grupo, determine o número total de elementos da amostra, ou seja, o número total de pessoas entrevistadas.
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

(a)

Se eu pego 1 a cada 10, eu to mantendo uma amplitude na minha amostragem, concorda? De 10 em 10.

Isso significa que estamos com uma amostragem sistemática.

Passo 2

(b)

Agora dividimos nossa população (pessoas da fila), em 3 estratos:

N 1 = 40

N 2 = 100

N 3 = 60

O problema diz que 9 pessoas foram entrevistadas do terceiro estrato, e pergunta o número total de entrevistados.

Passo 3

A gente sabe que numa amostragem estratificada a gente tem que manter a proporção em todos os estratos, então..

9 60 = 15 %

Isso significa que se eu tirei 15% do terceiro, vou ter que tirar 15% dos outros dois estratos também.

Passo 4

Primeiro..

15 % × 40 = 6

Segundo...

15 % × 100 = 15

O número total de entrevistados será:

6 + 15 + 9 = 30   p e s s o a s

Resposta

a   a m o s t r a g e m   s i s t e m á t i c a

b   N = 30   p e s s o a s

Exercício Resolvido #3

Enunciado

CEFET -Prof Anna Regina

Uma população se encontra dividida em três estratos, com tamanhos, respectivamente, N 1 = 80 , N 2 = 120 e N 3 = 60 . Ao realizar uma amostragem estratificada proporcional, doze elementos da amostra foram retirados do primeiro estrato. Qual o número total de elementos da amostra?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O problema trata de uma amostragem estratificada, beleza?

Lembra que nesse tipo de amostragem, nossa população está dividia em subpopulações ou estratos. Nesse caso, são:

N 1 = 80

N 2 = 120

N 3 = 60

Passo 2

Temos que lembrar que ao tirar a amostra, mantemos a mesma proporção em todos os estratos.

Isso quer dizer que se eu tirei 12 do primeiro estrato...

12 80 = 0,15

Então eu tenho que tirar 15% do segundo e do terceiro.

Passo 3

Segundo estrato:

15 % × 120 = 18

Terceiro estrato:

15 % × 60 = 9

O número total de elementos da amostra será:

12 + 18 + 9 = 39   e l e m e n t o s

Resposta

39   e l e m e n t o s

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Elaboração Própria

Suponha que temos uma população de 250 elementos, e queremos montar uma amostra usando um elemento a cada 25 elementos da população, a partir do 2 º elemento. Que tipo de amostragem devemos fazer? Qual deve ser a nossa amostra?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

A questão tá pedindo uma amostragem sistemática, certo? Está nos dando o tamanho total da população e pedindo uma amostra usando um elemento a cada 25 , ou seja, 25 é a nossa amplitude! Lembrando da fórmula

a = N n

Como N = 250 e a = 25 ...

25 = 250 n n = 10

Nossa amostra tem que ter 10 elementos!

Passo 2

Começando do 2 º elemento, como foi pedido, nossa amostra seria:

{ 2 ; 27 ; 52 ; 77 ; 102 ,   127 ; 152 ; 177 ; 202 ; 227 }

Sempre somando 25 , nossa amplitude, à posição do elemento anterior!

Passo 3

Resposta

{ 2 ; 27 ; 52 ; 77 ; 102 ,   127 ; 152 ; 177 ; 202 ; 227 }

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Elaboração Própria

Qual o número de amostras possíveis que podemos obter a partir de uma população de 20 elementos se quisermos montar uma amostra aleatória com 15 elementos sem reposição?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Amostragem sem reposição usamos a fórmula:

C N n

Onde N = 20 e n = 15 . Então:

C 100 30 = 20 ! 15 ! 20 - 15 ! = 15504   a m o s t r a s

E como é aleatória, qualquer uma dessas 15504 amostras são válidas! Não precisamos nos preocupar com uma amplitude de escolha, por exemplo.

Passo 2

15504   a m o s t r a s

Passo 3

Resposta

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas