Dimensionamento da Amostra para Proporção Amostral

Teoria Completa

PARA ESTIMAR A PROPORÇÃO POPULACIONAL

Incialmente a gente tem que:

P | p ^ - p | ≤ d = 1 - α

Do mesmo jeito que a gente pensou anteriormente para a média populacional, a gente chega na seguinte relação.

n = z 1 - α 2 d 2 ⋅ p ⋅ 1 - p

Os valores de α e d geralmente o exercício dá.

O problema então é que a gente tem p e n desconhecidos, duas icógnitas e uma equação.

Pra resolver isso vamos seguir um raciocínio aqui;

Lembra que eu disse que:

p 1 - p ≤ 1 4

Vamos entender isso melhor rapidin.

  1. Lembra que p é um valor entre 0 e 1, certo?
  2. Então chute qualquer valor pra p e faça a conta, você vai ver o que eu disse, por exemplo.
  • Se p = 0,1 → p 1 - p = 0,09
  • Se p = 0,25 → p 1 - p = 0,1875
  • Se p = 0,6 → p 1 - p = 0,24
  • O maior valor possível é exatamente 0,25 que acontece quando p = 0,5 .
  • Outra maneira de ver isso é derivando e igualando a zero:

    p 1 - p

    p - p 2

    Derivando com relação a p e igualando a zero, temos:

    1 - 2 p = 0

    p = 1 2

    Derivando com relação a p de novo para vermos se é ponto de máximo:

    - 2

    Que é sempre negativo então é ponto de máximo.

    Tá, agora que isso tá entendido. Se não entendeu, relaxa, aceite haha.

    Olhando pra fórmula de n a gente percebe que quanto maior o valor de p ( 1 - p ) , maior o valor de n , maior o tamanho que a amostra tem que ter.

    Então o maior tamanho da amostra acontece quando p = 0,5 .

    Pra resolver então o nosso problema de 2 icógnitas e 1 equação, nós vamos estimar o valor de p , com o seguinte critério:

    • Se a gente não souber nada sobre o valor de p , vamos usar p = 0,5 ;
    • Se por algum motivo a gente souber o intervalo dos valores possíveis pra p , a gente vai usar o valor do intervalo que estiver mais próximo de 0,5. Por exemplo, se o intervalo for 0,1 a 0,2, vamos usar p = 0,2 . Ou se o intervalo for 0,72 a 0,75, vamos usar p = 0,72 .

    O motivo da gente usar esse critério é que assim a gente vai sempre dimensionar a amostra por cima, ou seja, por valores mais altos de n , garantindo que o erro não ultrapasse d .

    Exemplo: Uma empresa fabrica diodos usados em placas de circuito impresso. Qual deve ser o tamanho amostral a fim de termos uma probabilidade de 0,9 de que o erro absoluto da estimativa da fração de diodos fora das especificações não ultrapasse 0,05.

    1. Se não tivermos qualquer informação sobre o verdadeiro valor de p ?
    2. Se temos a informação de que o verdadeiro valor da fração fora das especificações é inferior a 20 % ?

    Passo1) Calcular α e z 1 - α 2 .

    1 - α = 0,90

    α = 0,1

    z 1 - α 2 = z 0,95 = 1,64

    Passo2) Temos d = 0,05 , vamos calcular n .

    Para a alternativa (a), não sabemos nada sobre p , então vamos usar p = 0,5 .

    n = z 1 - α 2 d 2 ⋅ p ⋅ 1 - p

    Substituindo os valores, n = 269   diodos .

    Passo3) Para a alternativa (b), sabemos que a fração não ultrapassa 20 % , o intervalo pra fração é [ 0 ; 0,2 ] , vamos usar então p = 0,2 .

    n = z 1 - α 2 d 2 ⋅ p ⋅ 1 - p

    Substituindo de novo, n = 173   diodos .

    Obs: note que se ao invés de eu falar que era inferior a 20%, eu falasse que era de pelo menos 80% por exemplo. A gente usaria p = 0,8 . Pegou a ideia?

    Expandir

    Exercício Resolvido #1

    João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 334.

    Lasers semicondutores usados em produtos óticos de gravação prestam-se tanto para operações de leitura como para operações de escrita. Estas últimas requerem níveis mais altos de potência, o que tende a reduzir a vida útil do laser. Quando a finalidade principal é realizar cópias de discos magnéticos de alta velocidade, o laser, fundamentalmente, só escreve. Por outro lado, quando a finalidade principal é armazenagem, o laser gasta aproximadamente a mesma quantidade de tempo na leitura e na escrita. Preocupado com a questão da durabilidade da sua produção, um fabricante de lasers deseja realizar uma pesquisa por amostragem junto à sua clientela, para estimar a proporção p dos seus produtos que são usados para realizar cópias.

    1. Se a intenção é estimar p com um erro absoluto inferior a 0,05 e com probabilidade 95 % , qual deve ser o tamanho da amostra?
    2. Sob as mesmas condições do item (a), calcule o tamanho da amostra a ser utilizada, se o fabricante sabe que 0,15 ≤ p ≤ 0,30 .
    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    (a)

    Vê se você concorda comigo, de acordo com o enunciado a intenção é que:

    P p ^ - p < d = 1 - α

    Com d = 0,05 e 1 - α = 0,95 .

    E a gente precisa dimensionar n .

    Primeiro calculamos α e z 1 - α 2 .

    1 - α = 0,95 → α = 0,05

    z 1 - α 2 = z 0,975 = 1,96

    Passo 2

    Pra calcular n   a gente tem que usar a fórmula:

    n = z 1 - α 2 d 2 . p . 1 - p

    A gente já tem quase todos os valores, mas não temos o valor da proporção populacional p . O que que a gente faz então?

    Como a gente não sabe naaaaada sobre p , a gente usa p = 0,5 . Aceita isso que funciona hahaha..

    Com isso a gente tem:

    n = 1,96 0,05 2 × 0,5 × 0,5

    n = 384,16

    Mas n é um número inteiro sempre.

    n = 385

    Passo 3

    (b)

    O que muda agora? Agora a gente sabe alguma coisa sobre o valor de p .

    A gente sabe que 0,15 ≤ p ≤ 0,30 .

    Quando isso acontece, a gente usa o valor mais próximo de 0,5. Nesse caso então a gente vai usar a mesma fórmula do item (a), mas com p = 0,30 .

    n = 1,96 0,05 2 × 0,3 × 0,7

    n = 322,69

    Então:

    n = 323

    Resposta

    a   385

    b   323

    Exercício Resolvido #2

    P2- 2014.1 – UFRJ Dimensionamento de amostras

    Deseja-se estimar a proporção p das empresas localizadas em uma região que possuem um setor de treinamento de pessoal. Determine o tamanho mínimo de uma amostra aleatória simples a ser extraída do conjunto dessas empresas para que o erro absoluto de estimação seja inferior a 0,105 , com uma probabilidade de 0,98 , nas seguintes situações:

    1. Nada se sabe sobre o valor de p ;
    2. Sabemos que pelo menos 80% das empresas dessa região possuem um setor de treinamento.
    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    Essa questão trata de dimensionamento de amostras.

    Garantir o que o problema pede é garantir que:

    P p ^ - p < 0,105 = 0,98

    Pra isso o nosso valor de n deve ser:

    n ≥ z 1 - α 2 d 2 . p . 1 - p

    Sabemos que:

    d = 0,105

    1 - α = 0,98 → α = 0,02

    Com isso:

    z 1 - α 2 = z 0,99

    Olhando na tabela da Normal, a gente vê que:

    z 0,99 = 2,33

    Passo 2

    (a)

    Beleza, o que falta pra gente pra descobrir o valor de n , é saber o valor de p .

    Na letra (a) ele diz que não sabemos nada sobre p , quando isso acontece a gente usa p = 0,5 .

    Ficaria assim:

    n ≥ 2,33 0,105 2 × 0,5 × 0,5

    n ≈ 124

    Passo 3

    (b)

    Agora sabemos que p vale pelo menos 80%, ou seja, 0,8 < p < 1 , já que 1 é o valor máximo.

    Nesses casos a gente usa o valor de p mais próximo de 0,5. Vamos usar então o 0,8.

    n ≥ 2,33 0,105 2 × 0,8 × 0,2

    n ≈ 79

    Os dois casos você teve que arredondar pra cima, n não pode ser um número decimal.

    Resposta

    a   124

    b   79

    Exercício Resolvido #3

    João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 364.

    Uma operadora de TV a cabo realizou uma pesquisa de mercado junto aos seus assinantes visando, entre outras coisas, estimar a proporção p dessas pessoas que estariam dispostas a contratar um upgrade no serviço que lhes é atualmente oferecido, em troca de um certo desconto no preço.

    1. Qual o tamanho de uma nova amostra suficiente para garantir que a proporção p de assinantes dispostos a contratar o upgrade possa ser estimada com um erro absoluto menor que 0,08 com probabilidade 0,95? Admita que nada se sabe sobre o valor de p .
    2. E se é sabido que p está entre 20 % e 35 % ?
    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    (a)

    A operadora de TV quer estimar a proporção p de pessoas dispostas a contratar o upgrade no serviço.

    Temos que calcular então de acordo com o enunciado:

    P p ^ - p < d = 1 - α

    Com d = 0,08 e 1 - α = 0,95 .

    Calculamos o valor de α e z 1 - α 2 .

    1 - α = 0,95 → α = 0,05

    z 1 - α 2 = z 0,975 = 1,96

    Percebeu que esse valor de z 0,975 tem uma frequência alta nas contas, se você preferir pode decorar que vale 1,96. Mas você descobre usando a tabela da Normal.

    Passo 2

    Pra calcular n   a gente tem que usar a fórmula:

    n = z 1 - α 2 d 2 . p . 1 - p

    A gente já tem quase todos os valores, mas não temos o valor da proporção populacional p . O que que a gente faz então?

    Como a gente não sabe naaaaada sobre p , novamente, a gente vai usar p = 0,5 .

    A gente fica com:

    n = 1,96 0,08 2 × 0,5 × 0,5

    n = 150,06

    Mas n é um número inteiro sempre.

    n = 151

    Passo 3

    (b)

    O que muda agora? Agora a gente sabe alguma coisa sobre o valor de p .

    A gente sabe que 0,20 ≤ p ≤ 0,35 .

    Quando isso acontece, o que que a gente faz? Usa o valor mais próximo de 0,5, certo? Nesse caso então a gente vai usar a mesma fórmula do item (a), mas com p = 0,35 .

    n = 1,96 0,08 2 × 0,35 × 0,65

    n = 136,55

    Então:

    n = 137

    Resposta

    a   151

    b   137

    Exercício Resolvido #4

    Elaboração Própria

    Qual será o tamanho da amostra a ser adotada para se fazer uma pesquisa sobre preferência de marcas celulares em um universo de 2000 possíveis clientes? Nesta pesquisa será exigida uma margem de erro máxima de 4 %