Enunciado

11-64. Suponha que dados sejam obtidos a partir de 20 pares de (x. v)e

que o coeficiente de correlação para a amostra seja 0.8.

a) Tesie a hipótese de que H: =0) contra H: p +0.com a =0.05?

Caleule o valor P.

b) Teste a hipotese de que H: p - 0,5 contra 110.5. com a -

0.05? Caleule o valor P.

c) Construa um intervalo bilateral de confianca de 95% para o coefiei-

ente de correlação. Explique como as questòes nos itens (a) e (b)

poderiam ser respondidas com um inlervalo de confiança.

Passo 1

Faaaaaaala aí gente,

Vamos fazer uma daquelas questões passo a passo?

Vem comigo!!

Dados:

n = 20 r = 0.8

Letra a:

H 0 : ρ = 0   ( N ã o   h á   c o r r e l a ç ã o   l i n e a r )

H 1 : ρ > 0  (Existe uma correlação linear positiva)

O valor da estatística de teste é:

t = r - ρ 0 1 - r 2 n - 2 = 0.8 - 0 1 - 0.8 2 20 - 2 ≈ 5.657

Determine a probabilidade correspondente (valor P) usando a tabela V com d f = n - 2 = 20 - 2 = 18

P < 0.0005

Se o valor P for menor que o nível de significância, vamos rejeitar a hipótese nula:

P < 0.05 ⇒  Rejeita  H 0

Existem evidências suficientes para apoiar a afirmação de que existe uma correlação linear positiva.

Passo 2

Letra b:

H 0 : ρ = 0.5 H 1 : ρ ≠ 0.5

O valor da estatística de teste é:

t = r - ρ 0 1 - r 2 n - 2 = 0.8 - 0.5 1 - 0.8 2 20 - 2 ≈ 2.121

Determine a probabilidade correspondente (valor P) usando a tabela V com d f = n - 2 = 20 - 2 = 18 :

0.02 = 2 × 0.01 < P < 2 × 0.025 = 0.05

Se o valor P for menor que o nível de significância, vamos rejeitar a hipótese nula:

P < 0.05 ⇒  Rejeita  H 0

Há evidências suficientes para apoiar a alegação de que a correlação é diferente de 0.5.

Passo 3

Letra c:

Para o nível de confiança 1 - α = 0.95 , determine z α / 2 = z 0.025 usando a tabela III (procure 0.025 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com sinal oposto):

  z α 2 = 1.96

Os limites do intervalo de confiança para o coeficiente de correlação são então:

t a n h ⁡ arctanh - z α 2 n - 3 = t a n h ⁡ arctanh ⁡ 0.8 - 1.96 20 - 3 ≈ 0.5534 t a n h ⁡ arctanh + z α 2 n - 3 = t a n h ⁡ arctanh ⁡ 0.8 - 1.96 20 - 3 ≈ 0.9177

Resposta

  1. Existem evidências suficientes para apoiar a afirmação de que existe uma correlação linear positiva.
  2. Há evidências suficientes para apoiar a alegação de que a correlação é diferente de 0.5.
  3. 0.5534 ≤ ρ ≤ 0.9177
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