Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

8-89 . O teor de alcatrão em 30 amostras de tabaco de cigarro é dado a

seguir :

( a ) Há evidência que suporte a suposição de que o teor de tabaco seja

normalmente distribuido ?

( b ) Encontre um IC de 99 % para o teor médio de tabaco

( c ) Encontre um intervalo de previsão de 99 % para o teor de tabaco

para a próxima observação que será tomada nesse tipo particular de

tabaco .

( d ) Encontre um intervalo que conterá 99 % dos valores do teor de tabaco com 95 % de confiança .

( e ) Explique a diferença entre os três intervalos calculados nos itens ( b ) .

( c ) e ( d )

Passo 1

Vamos lá pessoal, se liga aqui como que resolve essa questão:

Um gráfico de probabilidade normal é um método gráfico para determinar se os dados da amostra estão em conformidade com uma distribuição normal hipotética com base em um exame visual subjetivo dos dados.

Para construir um gráfico de probabilidade, as observações na amostra são as primeiras classificados do menor ao maior. Ou seja, a amostra x 1 ,   x 2 , . . . ,   x n está organizado como x ( 1 ) , x ( 2 ) , . . . ,   x ( n ) onde x ( 1 ) é a menor observação, x ( 2 ) é a segunda menor observação e assim por diante com x ( n ) sendo a maior. A frequência cumulativa para observação em x ( i ) é:

i - 0.5 n

Uma probabilidade normal é construída em eixos ordinários traçando as pontuações normais padronizadas z i contra x ( i ) onde as pontuações normais padronizadas satisfazem

i - 0.5 n = P Z < z i = Φ z i

Passo 2

Nos eixos horizontais estão os valores x 1 , x 2 , … , x n . Se a distribuição hipotética descreve adequadamente os dados, os pontos traçados cairão aproximadamente ao longo de uma linha reta. Se os pontos traçados desviarem significativamente da linha reta, o modelo hipotético não é apropriado.

Na forma descrita anteriormente, construímos um gráfico de probabilidade normal com base

nas observações 1,542 1,585 1,532 1,466 1,499 1,611 1,622 1,466 1,5416 1,494, 1.548 1.626 1.440 1.608 1.520 1.478 1.542 1.511 1.459 1.533 1.532 1.523 1.397, 1.487 1.598 1.498 1.600 1.504 1.545 1.558

O gráfico de probabilidade normal não contém curvatura forte e o padrão é aproximadamente linear, então podemos concluir que os valores dos dados são aproximadamente normalmente distribuídos.

Passo 3

A média da amostra é:

x - = 1 30 ∑ i = 1 30   x i = 1.529

O desvio padrão é:

s = ∑ i = 1 n   x i - x - 2 n - 1 1 2 = ∑ i = 1 30   x i - 1.529 2 29 1 2 = 0.0566

Suponha que X 1 , X 2 , . . . ,   X n é uma amostra aleatória de uma população normal. Queremos prever o valor X n + 1 uma única observação futura. Uma previsão de X n + 1 é X ^ , a média da amostra.

Se x _ e s são a média e o desvio padrão de uma amostra aleatória de uma distribuição normal com variância desconhecida σ 2 , um intervalo de confiança 100 ( 1 - α ) % em μ   é dado por

x - - t a 2 , n - 1 s n ≤ μ ≤ x - + t a 2 , n - 1 s n

onde, t α 2 , n - 1 é o ponto percentual superior 100 α 2 da distribuição t com n - 1 graus de liberdade.

Passo 4

Letra b:

Agora, precisamos encontrar um IC de 99% na média da população, então

α 2 = 1 - 0.99 2 = 0.005 ⇒ t 0 2 , n - 1 = t 0.005,29 = 2.756

Das equações, temos:

1.529 - 2.756 0.0566 30 ≤ μ ≤ 1.529 + 2.756 0.0566 30

Portanto, um IC de 99% na média da população é

1.50054 ≤ μ ≤ 1.55746

Um intervalo de predição (IP) de 100 ( 1 - α ) % em uma única observação futura de uma distribuição normal é dada por

x - - t a 2 , n - 1 s 1 + 1 n ≤ X n + 1 ≤ x - + t a 2 , n - 1 s 1 + 1 n

Passo 5

Letra c:

Sabemos que o nível de confiança é 99% e o tamanho da amostra é n = 30. Portanto,

α 2 = 1 - 0.99 2 = 0.005 t a 2 , n - 1 = t 0.005,19 = 2.756

Da equação, temos:

1.529 - 2.756 × 0.0566 1 + 1 30 ≤ X 31 ≤ 1.529 + 2.756 × 0.0566 1 + 1 30

Portanto, um intervalo de predição de 99% é

1.37054 ≤ X 31 ≤ 1.68746

Um intervalo de tolerância para capturar pelo menos γ % dos valores em uma distribuição normal com nível de confiança 100 ( 1 - α ) % é

x - - k s , x - + k s

onde k é um fator de intervalo de tolerância encontrado na Tabela XII do Anexo. Os valores são dados para γ = 90 % ,   95 % e 99 % e para 90 % ,   95 %   e 99 % de confiança.

Passo 6

Letra d:

Primeiro, nós achamos o valor de k. Sabemos que o nível de confiança é 99% e γ = 95 % , o tamanho da amostra é n = 30. Portanto, da Tabela XII do Apêndice, o valor de k é:

k = 3.350

Agora, da equação, um intervalo de tolerância é

1.529 - 3.350 × 0.0566,1.529 + 3.350 × 0.0566 ( 1.3395,1.7185 )

Passo 7

Letra e:

Da parte b), c) e d), concluímos que a duração do intervalo de tolerância é mais longo do que a duração do intervalo de predição e a duração do intervalo de predição é maior do que a duração do intervalo de confiança.

Resposta

  1. Ver resolução
  2. 1.50054 ≤ μ ≤ 1.55746
  3. 1.37054 ≤ X 31 ≤ 1.68746
  4. 1.3395,1.7185
  5. Ver resolução

Exercícios de Livros Relacionados

é possível construir um intervalo não-paramétrico de tolerância, que s
Considere as situações dos Problemas 37, 38 e 39. Suponha que n seja s
Obtenha o estimador de λ   na Poisson, pelo método dos momentos.
Um casal está procurando um apartamento para alugar, duas cidades, igu
Uma linha de montagem utiliza robôs para a realização das tarefas nece