Enunciado

9-129. Quando X, X. .... X, for uma amostra aleatória proveniente

de uma distribuição normal, com n grande, o desvio-padrão da amos-

tra tem uma distribuição aproximadamente normal, com média o e

variância o/(2n). Conseqüentemente, um teste para amostra grande

para

o, pode estar baseado na estatística

(a) Use esse resultado para testar para

a distância global da bola de golfe no Exercício 6-25.

(b) Encontre um estimador aproximadamente não-tendencioso do 95

percentil 1.6450. Pelo fato de que f e S são variáveis

alcatórias independentes, encontre o crro padrão do estimador de

0. Como você estimaria o erro-padrão?

(c) Considere os dados da distância global da bola de golfe no Exer-

cício 6-25. Desejamos investigar uma afirmação de que o 95

percentil da distância global não excede 285 jardas. Construa uma

estatística de teste que possa ser usada para testar as hipóteses

apropriadas. Aplique esse procedimento para os dados do Exer-

cício 6-25. Quais são suas conclusões?

Passo 1

E aiiii galera, vamos resolver essa questão aqui rapidinho?

Letra a:

Seguindo o livro, precisamos determinar 7 coisas (Exemplo 9-15)

  1. Parâmetro de interesse: é o verdadeiro desvio padrão da distância da bola de golf ( λ )
  2. Hipótese nula: H 0 : σ = 10
  3. Hipótese alternativa: H 1 : σ < 10
  4. Estatística de teste: uma vez que n > 30 (amostra grande), podemos usar
  5. Z = S - σ 0 σ 0 2 / ( 2 n )

  6. Rejeitar H 0 se: rejeitamos se o valor z 0 for menor que z α = z 0.05 =   - 1.65
  7. Cálculos: do Exercício 6.25 , temos S = 13.8497 e n = 100 , portanto
  8. z 0 = 13.8497 - 10 10 2 / ( 2 ⋅ 100 ) = 5.4443

  9. Conclusões: temos que z 0 > z α , o que significa que não rejeitamos a hipótese nula. Há “evidências” de que o verdadeiro desvio padrão é menor que 10 (quando α = 0.05 ).

Passo 2

Letra b:

O estimador imparcial de 95 percentil de (que é dado no exercício!) θ = μ + 1.645 σ é:

X - + 1.645 s 2 n

onde estimamos σ com s 2 n (usando a estatística de teste que nos é fornecida, estimamos o desvio padrão) e μ com a média da amostra X _ (agora apenas substitua).

O erro padrão do estimador θ é

S E ( θ ) = σ n

onde usamos os resultados do livro e faríamos uma estimativa com

S E ^ ( θ ) = s 2 n 1 n = s 2 n

onde estimamos   σ ^ = s 2 n

Passo 3

Letra c:

Não excede 285 jardas significa que não é maior que 285 jardas.

  1. Parâmetro de interesse: é o verdadeiro parâmetro ( λ )
  2. Hipótese nula: H 0 : θ = 285
  3. Hipótese alternativa: H 1 : θ > 285
  4. Estatística de teste: uma vez que n > 30 (amostra grande), podemos usar
  5. Z = Θ ^ - v 0 σ / ( 2 n )

  6. Rejeitar H 0 se: rejeitamos se o valor z 0 for menor que z α = z 0.05 = 1.65
  7. Cálculos: do Exercício 6.25 , obtemos o percentil 95º como 279.6 + 279.8 2 = 279.7 (que é o valor de Θ ^ ) onde 279.6 é 95º nos dados ordenados e 279.8 é 96º nos dados ordenados dados,
  8. z 0 = 279.7 - 285 13.8497 2 / ( 2 ⋅ 100 ) = - 4.5509

  9. Conclusões: temos que z 0 < z α , o que significa que rejeitamos a hipótese nula. Há “evidências” de que o verdadeiro percentil 95 º é menor que 285 (quando α = 0.05 ).

Resposta

  1. O verdadeiro desvio padrão é menor que 10;
  2. X - + 1.645 s 2 n , S E ( θ ) = σ n , S E ^ ( θ ) = s 2 n
  3. O verdadeiro percentil 95º é menor que 285.
Ver Outros Exercícios desse livro

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