Enunciado

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Certa liga é formada pela mistura fundida de dois metais. A liga resultante contém certa porcentagem de chumbo, X, que pode ser considerada uma v.a. com f.d.p.

f ( x ) = 3 5 1 0 - 5 x ( 100 - x ) ,   0 ≤   x   ≤ 1

Suponha que L, o lucro líquido obtido na venda dessa liga (por unidade de peso), seja dado por:

L   =   C 1 + C 2 X

Calcule E(L), o lucro esperado por unidade.

Passo 1

Primeiramente devemos compreender o enunciado. O exercício pede que calculemos a porcentagem de chumbo que estará presente na liga de metais para que possamos saber o lucro esperado por unidade vendida.

Para saber a porcentagem de chumbo na liga Calculamos E(x)que é a esperança de encontrarmos chumbo nessa liga.

Para tal, integramos essa função para os valores de x apresentados 0 ≤ x ≤ 1. Neste caso colocaremos em porcentagem, ou seja, 0 ≤ x ≤ 100.

E ( x ) = 3 5 × 1 0 - 5 ∫ 0   100 x 2 ( 1 - x ) d x

E ( x )   = 3 5 × 1 0 - 5 [ 100 x 3 3 - x 4 4 ] 0 100

E ( x ) = 3 5 × 1 0 - 5 × 10 0 3 [ 100 3 - 100 4 ]

E ( x ) = 3 5 × 1 0 3 [ 1 3 - 1 4 ]

E ( x ) = 3 5 × 1 0 3 × 1 12 = 50

Passo 2

Com a porcentagem de Chumbo na liga encontrado precisamos apenas colocar seu valor na fórmula de lucro esperado.

E ( L ) = C 1 + 50 C 2

Resposta

Portanto, a esperança de lucro é:

E ( L ) = C 1 + 50 C 2

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