Enunciado

Num certo ano, foi feito um levantamento numa empresa, mês a mês, a respeito do custo total de fabricação por unidade produzida ( Y ), em cruzeiros, em função do gasto com matéria-prima ( X 1 ), em mil cruzeiros, e do número de funcionários ( X 2 ). Efetuando os cálculos dos somatórios necessários ao cálculo da regressão, obtivemos:

Pede-se:

  1. Dar a equação da regressão linear simples ( Y em função de X 2 ).

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vem comigo!

A regressão linear múltipla é a regressão em que sabemos como K variáveis contribuem para a realização do fenômeno, e a parte funcional da regressão é uma função linear. Onde a estimativa da equação de regressão é dada por:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 + ⋯ + b k X k

Onde as estimativas a , b 1 , b 2 , , b k dos coeficientes α , β 1 , β 2 , , β k podem ser calculadas pelo método dos mínimos quadrados, partindo de hipóteses análogas aquelas adotadas pela regressão linear simples.

Para o caso de ter apenas duas variáveis explicativas:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2

Como no enunciado queremos a equação da regressão linear simples de Y em função de X 2 , a equação da reta será:

Y ^ = a + b 2 X 2

Pelo enunciado, conseguimos identificar que o levantamento da empresa foi feito mês a mês, durante um ano, ou seja:

n = 12

Sendo assim, primeiramente, iremos calcular as médias de Y e X 2 , respectivamente:

Y - = ∑ Y n = 114 12 = 9,5

X - 2 = ∑ X 2 n = 612 12 = 51

Passo 2

Para encontramos os valores de a e b 2 , precisamos encontrar a covariância entre Y e X 2 :

S Y 2 = ∑ X 2 ∙ Y - ( ∑ Y ) ∙ ( ∑ X 2 ) n

S Y 2 = 5914 - 114 ∙ 612 12 = 100

A variância de X 2 :

S 22 = ∑ X 2 2 - ∑ X 2 2 n

S 22 = 31662 - 612 2 12 = 450

E a covariância entre X 1 e X 2 :

S 21 = S 12 = ∑ X 1 ∙ X 2 - ( ∑ X 1 ) ∙ ( ∑ X 2 ) n

S 21 = S 12 = 29766 - 576 ∙ 612 12 = 390

Passo 3

O cálculo de b 2 e a são dadas pelas seguintes equações, respectivamente:

b 2 = S Y 2 S 21 - S Y 1 S 11 S 22 S 21 - S 12 S 11

a = Y - - b 1 ∙ X - 1 - b 2 ∙ X - 2

Mas como queremos apenas para Y em função de X 2 :

b 2 = S Y 2 S 21 S 22 S 21 = 100 390 450 390 = 0,22

a = Y - - b 2 ∙ X - 2 = 9,5 - 0,22 ∙ 51 = - 1,72

Por fim, temos a regressão linear simples de Y em função de X 2 :

Y ^ = - 1,72 + 0,22   X 2

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

Y ^ = - 1,72 + 0,22   X 2 .

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