Enunciado

Uma empresa fez um levantamento do seu lucro mensal Y (em milhões de cruzeiros), em função das despesas gastas com propaganda X (em mil cruzeiros), durante n = 5   m e s e s , com a finalidade de montar uma regressão linear simples entre essas variáveis. Os somatórios obtidos foram os seguintes:

Nessas condições, qual será o lucro variável num mês em que as despesas com propaganda forem de Cr$ 200.000,00?

Passo 1

Oi pessoal, como vocês estão? Estou feliz em te ver aqui de novo! Vem comigo. Primeiramente iremos relembrar a teoria.

O método dos mínimos quadrados fornece os valores de a e b tais que ∑ Y i - Y ^ i 2 seja mínimo. Iremos descobrir os valores de a e b pela Regra de Cramer. Para isso, iremos utilizar algumas equações:

  • Os valores médios de X i e Y i :
  • X - = ∑ X i n

    Y - = ∑ Y i n

  • As variâncias são calculadas pelas seguintes equações:
  • S X Y = ∑ ( X i ∙ Y i ) - ∑ X i ∙ ∑ Y i n

    S X X = ∑ X i 2 - ∑ X i 2 n

  • E as estimativas procuradas de a e b :

b = S X Y S X X

a = Y - - b ∙ X -

E como já sabemos, a estimativa da regressão é dada pela seguinte equação:

Y ^ = a + b ∙ X

Passo 2

Então vamos lá para nosso exercício, do enunciado temos os seguintes dados:

n = 5

Então primeiro vamos calcular as médias de X e de Y , respectivamente:

X - = 175 5 = 35

Y - = 577 5 = 115 , 4

E as variâncias:

S X Y = 20955 - 175 ∙ 577 5 = 760

S X X = 7125 - 175 2 5 = 1 000

Passo 3

Com esses valores calculados no Passo 2, conseguimos calcular os valores de b :

b = 760 1 000 = 0 , 760

E de a :

a = 115,4 - 0 , 760 ∙ 35 = 88 , 8

Gerando a seguinte equação da reta:

Y ^ = 88,8 + 0 , 760 ∙ X

Passo 4

Para encontrarmos o lucro varável para Cr$ 200.000,00 ( X = 200 ), antes precisamos calcular a estimativa do lucro fixo, considerando que X = 0 :

Y ^ = 88,80

Então para X = 200 , temos:

Y ^ = 88,8 + 0 , 760 ∙ 200 = 240,80

O lucro variável será:

l u c r o   v a r i á v e l = 240,80 - 88,80 = 152

l u c r o   v a r i á v e l = C r $   152   m i l h õ e s   d e   c r u z e i r o s

Esse já acabou pessoal. Te espero em mais exercícios.

Resposta

l u c r o   v a r i á v e l = C r $   152   m i l h õ e s   d e   c r u z e i r o s .

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