Enunciado

O custo de manutenção de treminhões movidos a gasolina e a diesel são dados abaixo para duas amostras aleatórias de 10 treminhões de cada tipo. Os veículos considerados trafegam sob as mesmas condições em uma mesma área.

  1. Teste a igualdade de médias dos dois grupos, considerando α = 5 % .

Passo 1

Odin dai me paciência e foco...

Pois é, ainda falta uma...Mas vamos juntos!

Relembrando que a variável em questão é:

X = C u s t o   d e   m a n u t e n ç ã o   p a r a   T r e m i n h õ e s .  

E dessa vez vamos realizar o teste para as médias populacionais; como no item B a gente viu que as variâncias populacionais muito provavelmente são iguais, então aqui teremos que usar a seguinte aproximação:

T = X - d i e s e l - X - g a s o l i n a - μ D i e s e l - μ G a s o l i n a S c 2 1 n D + 1 n G ~ t n D + n G - 2

O que é isso mesmo em??!! Chamamos isso de distribuição t-student com ( n D + n G - 2 ) graus de liberdade.

Agora, do que se trata aquele S c 2   ali?? Ele nada mais é do que uma zueirinha com as variâncias amostrais de cada grupo, olha só:

S c 2 = n D - 1 S D 2 + n G - 1 S G 2 n D + n G - 2

Outra coisa muito importante, no item B dessa questão a gente encontrou os seguintes valores para as médias e variâncias amostrais de ambos os grupos:

X - D = 7,82       e       S D 2 = 20,47

E

X - G = 8,80       e     S G 2 = 19,79

Lembra? Vamos deixar engatilhado então o tal do S c 2 :

S c 2 = 10 20,47 + ( 10 ) ( 19,79 ) 10 + 10 - 2 ≅ 22,37

Passo 2

Então, agora precisamos usar tudo isso para realizar o seguinte teste:

H 0 : μ D - μ G = 0         c o n t r a           H 1 : μ D - μ G ≠ 0

Vamos começar definindo nossa região crítica, adotando α = 5 % :

R C = t 0 ∈ R t 0 < - t α 2 ; n D + n G - 2     o u     t 0 > t α 2 ; n D + n G - 2

O que precisamos fazer é encontrar um determinado valor t α 2 ; n D + n G - 2 tal que:

P T > t 0,025 ; 18 = α 2 = 0,025

Mas se você se recordar bem, a tabela de distribuição de t-student nos dá, nas colunas, valores p ; que são definidos da seguinte forma:

p 2 = α 2 → p = α

Quando nossa RC for BILATERAL. Lembre-se sempre disso, quando RC bilateral, então p = α ; e quando RC UNILATERAL, p = 2 α .

Então isso significa que deveremos buscar na coluna que representa 5 % α e na linha de 10 + 10 - 2 = 18 graus de liberdade:

Então encontramos:

R C = t 0 < - 2,101     o u     t 0 > 2,101

Achou a mesma coisa aí??

Passo 3

Só nos resta então realizar definitivamente o teste sob a hipótese nula:

T = X - d i e s e l - X - g a s o l i n a - μ D i e s e l - μ G a s o l i n a S c 2 1 n D + 1 n G

Mas, em H 0 temos μ D = μ G , portanto:

t 0 = 7,82 - 8,80 - 0 22,37 2 10 ≅ - 0,463

Ou seja, t 0 = - 0,463 NÃO pertence a nossa região crítica, então vamos novamente ACEITAR a hipótese nula.

Resposta

Concluindo, evidências mostram que em média os Treminhões movidos a Diesel possuem os mesmos custos de manutenção dos movidos a Gasolina.

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