Enunciado

Quatro diferentes espécies de milho foram produzidas em laboratório. Deseja-se testar, a um nível de significância de α = 5 % , se existe diferença estatisticamente significativa entre as produtividades. Para tanto, foram montados 34 canteiros, plantando-se neles o mesmo número de sementes e garantindo-se a todos as mesmas condições de fertilidade, irrigação e exposição à luz solar. Após um período de tempo pré-especificado, a produção de cada canteiro, em kg, foi obtida. Os resultados observados sofreram um tratamento inicial, e as seguintes informações foram disponibilizadas:

O que pode ser concluído com base na tabela?

Passo 1

Bom, você já deve estar ciente do quanto essa parte da matéria é longa e chata, acho que nem deveríamos chamar de Análise de Variância (ANOVA), mas sim de Velozes e furiosos.

Antes de mais nada vamos definir quem é a variável em questão:

Y = P r o d u t i v i d a d e   e m   c a d a   c a n t e i r o   e m   k g

Feito isso, vamos definir agora quem são as nossas hipóteses de teste:

H 0 :   μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4         C o n t r a       H 1 : μ i ≠ μ j ,   p a r a   p e l o   m e n o s   u m   p a r   i , j

Peraí, o que quer dizer “pelo menos um par”? Temos 4 amostras certo? Então na hipótese alternativa estamos dizendo que PELO MENOS duas dessas amostras se comportam de maneira diferente.

Ou seja, podemos ter μ 1 ≠ μ 2 = μ 3 = μ 4 , como podemos ter μ 1 ≠ μ 2 ≠ μ 3 ≠ μ 4 . Esse teste serve só para dizer se as 4 populações são iguais ou não, ele não consegue identificar onde esta o sinal de .

Agora, para realizar o teste precisamos utilizar a seguinte aproximação:

F = Q M e n t r e Q M D e n t r o ~ f k - 1 ; n - k

Chamamos isso de Distribuição F   d e   S e n e d e c o r   com k - 1   e   n - k graus de liberdade.

Vamos destrinchar essa fórmula, k é o numero de populações de quem tiramos as amostras, no caso temos k = 4 . Enquanto que n é o tamanho total das amostras, ou seja é a soma de todos os n i dados na tabela no enunciado.

Uma tabela ANOVA temo seguinte formato:

Vamos atrás de cada um desses dados.

Passo 2

Como sua calculadora passou a noite?? Espero que esteja de bem com ela!

Esses são os dados cruciais, note ainda que:

S Q T o t a l = S Q D e n t r o + S Q E n t r e

Facilita um pouco.

Agora, a grande questão é que precisamos obter alguns dados para poder jogar nessas fómulas aí de S Q ; com muito foco força e fé, vamos a eles:

Vamos começar com a média GERAL; note o seguinte:

Y - 1 = ∑ i = 1 n 1 y i n 1 = 90,56

Então, isolando:

∑ i = 1 n 1 y i = n 1 90,56

A média GERAL é dada pela soma de todos os dados, de todas as amostras, divido pelo tamanho total:

Y - = ∑ i = 1 n 1 y i + ∑ i = 1 n 2 y i + ∑ i = 1 n 3 y i + ∑ i = 1 n 4 y i n 1 + n 2 + n 3 + n 4

Capitou a ideia? Então:

Y - = 9 90,56 + 10 86,40 + 7 95,71 + ( 8 ) ( 83,63 ) 9 + 10 + 7 + 8 ≅ 88,77 k g

Beleza, agora outra coisa que precisamos para jogar naquelas fomulas, é o seguinte:

∑ i = 1 k = 4 ∑ j = 1 n i y i , j 2

Para encontrar isso, vamos ter que usar a variância dada na tabela do enunciado, da um olhada:

S 1 2 = ∑ j = 1 n 1 y j 2 - n 1 Y - 1 2 n 1 - 1

Então podemos isolar:

∑ j = 1 n 1 y j 2 = S 1 2 n 1 - 1 + n 1 Y - 1 2

E após fazer isso para todos as 4 amostras, podemos somar tudo e obter:

∑ i = 1 k = 4 ∑ j = 1 n i y i , j 2 = 13,28 8 + 9 90,56 2 + … + 16,55 7 + 8 83,63 2 ≅ 268.964,16

Sim! É espantoso, eu sei. Mas carmeia que no final da tudo certo!!

Ainda antes de jogar tudo naquelas fórmulas la, precisamos de um último dado:

∑ i = 1 k = 4 n i Y - i 2

Esse é bem mais trivial, basta multiplicar o tamanha de cada amostra pela sua respectiva média:

∑ i = 1 k = 4 n i Y - i 2 = 9 90,56 2 + 10 86,40 2 + 7 95,71 2 + 8 83,63 2 ≅ 268.534,27

Cá entre nós, estar assistindo um velozes agora ia ser muito top...

Passo 3

Então, basta tacar tudo naquelas fórmulinhas da tabela lá:

S Q e n t r e = 268.534,27 - 34 88,77 2 ≅ 610,43

S Q D e n t r o = 268.964,16 - 268.534,27 ≅ 429,89

E

S Q T o t a l = 610,43 + 429,89 ≅ 1040,32

Ufa, agora estamos quase...Prometo.

Agora, para montarmos a tabela ANOVA, é importanto que você saiba como calculamos os “quadrados médios”, pois usamos eles para realizar o teste F lembra??

Q M e n t r e = S Q e n t r e 4 - 1 ≅ 610,43 3 ≅ 207,48

Q M D e n t r o = S Q D E n t r o 34 - 4 = 429,89 30 ≅ 14,33

E

Q M t o t a l = S Q t o t a l 34 - 1 = 1040,32 33 ≅ 31,52

Finalmente nossa Tabela ANOVA:

Agora, antes de realizar o teste f , precisamos da nossa região crítica adotando α = 5 % :

R C = f 0 ∈ R     f 0 > f α ; k - 1 ; n - k

Precisaremos ir na tabela de distribuição de F   d e   S n e d e c o r buscar um f tal que:

P F > f 0,05 ; 3 ; 30 = α = 0,05

Portanto, deveremos ir na tabela que representa 5 % , ir na coluna de 4 - 1 = 3 graus de liberdade, e na linha de 34 - 4 = 30   graus de liberdade:

Portanto nossa RC:

R C = f 0 > 2,92

E finalmente, o nosso teste:

f 0 = Q M e n t r e Q M d e n t r o = 207,48 14,33 ≅ 14,48

Portanto, como f 0 PERTENCE a região crítica, vamos REJEITAR a hipótese nula.

Foi impressão minha, ou realmente dava tempo de assistir os 15 filmes do velozes e furiosos antes de terminar essa questão??

Resposta

Concluimos que a produtividade em cada canteiro não são todas iguais, evidenciando uma diferença entre as espécies plantadas.

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