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Deduza a fórmula para a média e o desvio padrão de uma variável aleatória uniforme discreta sobre a faixa de inteiros a, a +1,…, b.

Passo 1

As fórmulas usadas serão:

∑ i = 0 n i = n ( n + 1 ) 2

∑ i = 0 n i 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

Os dados são:

X é uma variável aleatória uniforme discreta no intervalo do inteiro a ,   a + 1 , . . . ,   b

A probabilidade de cada número inteiro em um determinado intervalo de números é então 1 dividido pelo número de inteiros no intervalo. Observe que o número de inteiros no intervalo de inteiros a ,   a + 1 , . . . b é b - a + 1

p = 1 b - a + 1

Passo 2

O valor esperado ou média μ é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P ( x ) :

μ = ∑ x P ( x ) = a × 1 b - a + 1 + ( a + 1 ) × 1 b - a + 1 + . . . + b × 1 b - a + 1

= a ( b - a + 1 ) b - a + 1 + b - a 2

= a + b 2

A variância é dada pela fórmula:

σ 2 = ∑ x 2 P ( x ) - μ 2

Primeiro determine a soma:

μ = ∑ x 2 P ( x ) = a 2 × 1 b - a + 1 + ( a + 1 ) 2 × 1 b - a + 1 + . . . + b 2 × 1 b - a + 1

= 1 b - a + 1 - 2 a 3 + 3 a 2 - a + 2 b 3 + 3 b 2 + b 6

Passo 3

Então, a variância se torna:

σ 2 = ∑ x 2 P ( x ) - μ 2 = 1 b - a + 1 - 2 a 3 + 3 a 2 - a + 2 b 3 + 3 b 2 + b 6 - a + b 2 2

= ( b - a + 1 ) 2 - 1 12

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

σ = σ 2 = ( b - a + 1 ) 2 - 1 12

Resposta

μ = a + b 2

σ = σ 2 = ( b - a + 1 ) 2 - 1 12

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