Enunciado

Uma empresa quer estudar como varia o consumo de matéria-prima ( Y ), em toneladas, em função das quantidades produzidas de dois de seus produtos ( X 1 e X 2 ). Para isso fez um levantamento, mês a mês, durante n = 12 meses e calculou:

A partir desses valores montou as duas seguintes regressões:

Pede-se:

  1. Calcular os coeficientes de explicação para cada uma das regressões;
  2. Verificar se o aumento no poder de explicação introduzido pelo modelo múltiplo é significativo, ao nível de 10%.

Passo 1

Olá galerinha, vamos relembrar um pouquinho da teoria? Vem comigo!

A regressão linear múltipla é a regressão em que sabemos como K variáveis contribuem para a realização do fenômeno, e a parte funcional da regressão é uma função linear. Onde a estimativa da equação de regressão é dada por:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 + ⋯ + b k X k

Onde as estimativas a , b 1 , b 2 , , b k dos coeficientes α , β 1 , β 2 , , β k podem ser calculadas pelo método dos mínimos quadrados, partindo de hipóteses análogas aquelas adotadas pela regressão linear simples.

Para o cálculo do coeficiente de explicação, para duas variáveis explicativas temos a seguinte equação:

R 2 = b 1 S Y 1 + b 2 S Y 2 S Y Y

Passo 2

No item a) queremos calcular os coeficientes de explicação para cada uma das regressões. Para a regressão simples:

Y ^ = - 4,56 + 0,25   X 2

Temos:

  • a = - 4,56 ;
  • b 2 = 0,25 .
  • Então:

    R 2 = b 2 S Y 2 S Y Y = 0,25 ∙ 99 40 = 61,9 %

    E para a regressão múltipla:

    Y ^ = - 4,23 + 0,08   X 1 + 0,15   X 2

    Temos:

  • a = - 4 , 23 ;
  • b 1 = 0 , 08 ;
  • b 2 = 0 , 1 5 .

R 2 = 0,08 ∙ 144 + 0,15 ∙ 99 40 = 65,9 %

Passo 3

No item b) queremos verificar se o aumento no poder de explicação foi significativo. Para isso, iremos utilizar a Análise de melhoramento.

O melhoramento, devido a introdução de uma nova variável é dado pela equação:

∆   = b 1 S Y 1 + b 2 S Y 2 - S Y 1 S 11 ∙ S Y 1

E a tabela de Análise de Variância fica:

Se F M > F t a b o melhoramento é significativo.

Então antes de fazermos os cálculos, vamos encontrar o F tabelado, onde:

  • G L M = 1 ;
  • G L R = 9 .

Para α = 0 , 10 :

F t a b = 3,36

Passo 4

Agora vamos calcular o melhoramento para o modelo dado por f ( X 2 ) :

∆   = b 1 S Y 1 + b 2 S Y 2 - S Y 2 S 22 ∙ S Y 2

∆   = 0 , 08 ∙ 144 + 0,15 ∙ 99 - 99 389 ∙ 99 = 1,17

E o quadrado médio residual:

S 2 = S Y Y - b 1 ∙ S Y 1 - b 2 ∙ S Y 2 n - 3

S 2 = 40 - 0,08 ∙ 144 - 0,15 ∙ 99 1 2 - 3 = 1,51

Portanto, nosso valor de F c a l c é:

F M = 1,17 1,51 = 0,77

Como F M < F t a b ( 0,7 7 > 3,36 ), o melhoramento não é significativo para α = 0 , 10 .

Tchau galera!!

Resposta

  1. R 2 = 61,9 % ;
  2. R 2 = 65,9 % .

  3. Não é significativo ( F M < F t a b ).

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que, no caso de um ajuste por mínimos quadrados do modelo de regressáo linear simples, Y i = α + β x i + ϵ i ,i = 1,2 , … , n ,∑ i = 1 n     y i - y ˆ i = ∑ i = 1 n     e i = 0 .
Suponha que um pesquisador postule um modelo do tipo Y i = α + β x 1 i + ϵ i ,i = 1,2 , … , n , quando, na verdade, uma variável adicional, digamos x 2 , também contribui linearmente para a resposta.
Em relação ao Exercício 11.6, construa(a) um intervalo de confiança de 95% para a nota mé­dia no curso dos estudantes que fizeram 35 pontosno teste de colocação.(b) um intervalo de predição de 95% par
Teste a linearidade da regressão do Exercício 11.5.Use o nível de significância de 0,05. Comente.
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