Enunciado

Há importantes aplicaçôes nas quais, devido a restriçooes científicas conhecidas, a reta de regressáo deve passar na origem (ou seja, o intercepto deve ser 0). Em outras palavras, o modelo deveria ser

Y i = β x i + ϵ i ,   i = 1,2 , … , n ,

e somente um parâmetro requer estimaçăo. O modelo é freqüentemente chamado de modelo de regressáo através da origem.(a) Mostre que o estimador de mínimos quadrados da inclinaçáo é b = ∑ i = 1 n   x i y i / ∑ i = 1 n   x i 2 .(b) Mostre que σ B 2 = σ 2 / ∑ i = 1 n   x i 2 .

(c) Mostre que b na parte (a) é um estimador não-viciado de /3. Ou seja, mostre que E(B) = fi.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

(a) A regressão através do modelo de origem é Y i = β x 1 + ε ,   i = 1,2 , … , n . Agora, podemos mostrar que o estimador de mínimos quadrados da inclinação é b = ∑ i = 1 n   x i y i ∑ i = 1 n   x i 2 . Usando a soma de erros de quadrados encontramos a inclinação b .

S S E   = ∑ i = 1 n     y i - y ˆ i 2   = ∑ i = 1 n     y i - b x i 2   = ∑ i = 1 n     y i 2 + b 2 x i 2 - 2 b x i y i   = ∑ i = 1 n     y i 2 + x i 2 ∑ i = 1 n     b 2 - 2 x i y i ∑ i = 1 n     b

Passo 2

Tomando a derivada em relação b a e definindo a derivada como zero.

∂ S S E ∂ b = 0   ⇒ ∂ ∂ b ∑ i = 1 n     y i 2 + x i 2 ∂ ∂ b ∑ i = 1 n     b 2 - 2 x i y i ∂ ∂ b ∑ i = 1 n     b = 0   ⇒ ∂ ∂ b ∑ i = 1 n     y i 2 + ∂ ∂ b ∑ i = 1 n     x i 2 b 2 - 2 ∂ ∂ b ∑ i = 1 n     x i y i b = 0   ⇒ ∂ ∂ b ∑ i = 1 n     y i 2 + ∑ i = 1 n     x i 2 ∂ ∂ b b 2 - 2 ∂ ∂ b ∑ i = 1 n     x i y i ∂ ∂ b ( b ) = 0   ⇒ 0 + 2 b ∑ i = 1 n     x i 2 - 2 ∑ i = 1 n     x i y i ( 1 ) = 0   ⇒ 2 b ∑ i = 1 n     x i 2 - 2 ∑ i = 1 n     x i y i = 0   ⇒ 2 b ∑ i = 1 n     x i 2 = 2 ∑ i = 1 n     x i y i   ⇒ b ∑ i = 1 n     x i 2 = ∑ i = 1 n     x i y i   ⇒ b = ∑ i = 1 n     x i y i ∑ i = 1 n     x i 2

A inclinação da regressão através do modelo de origem é

b = ∑ i = 1 n     x i y i ∑ i = 1 n     x i 2

Passo 3

(b) Agora, temos que mostrar que, σ B 2 = σ 2 ∑ i = 1 n   x i 2 . A regressão através do modelo de origem é Y i = β x 1 + ε ,   i = 1,2 , … , n . A inclinação do estimador é B Agora, encontramos a variância de B = ∑ i = 1 n   x i Y i ∑ i = 1 n   x i 2 é B

σ B 2   = V a r ⁡ ∑ i = 1 n     x i Y i ∑ i = 1 n     x i 2   = V a r ⁡ ∑ i = 1 n     x i Y i V a r ⁡ ∑ i = 1 n     x i 2   = ∑ i = 1 n     x i 2 V a r ⁡ Y i ∑ i = 1 n     x i 2 2   = ∑ i = 1 n     x i 2 σ 2 ∑ i = 1 n     x i 2 2   = ∑ i = 1 n     x i 2 σ 2 ∑ i = 1 n     x i 2

Passo 4

Assim, a variância do estimador B para regressão através do modelo de origem é

σ B 2 = ∑ i = 1 n     x i 2 σ 2 ∑ i = 1 n     x i 2 . 

Passo 5

(c) Agora, temos que mostrar que, σ B 2 = σ 2 ∑ i = 1 n   x i 2 . A regressão através do modelo de origem é Y i = β x 1 + ε ,   i = 1,2 , … , n . A inclinação do estimador B é B = ∑ i = 1 n   x i Y i ∑ i = 1 n   x i 2 . Agora encontramos o valor esperado de B is

E ( B )   = E ∑ i = 1 n     x i Y i ∑ i = 1 n     x i 2   = ∑ i = 1 n     x i β x i ∑ i = 1 n     x i 2   = ∑ i = 1 n     x i 2 β ∑ i = 1 n     x i 2   = β

Assim, o valor esperado do estimador B para regressão através do modelo de origem é E ( B ) = β .

Resposta

Resposta nos passos.

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