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A função densidade de probabilidade do tempo em que clientes chegam a um terminal (em minutos depois de 8h) é f ( x ) = e 0.1 x / 10 para 0 < x . Determine a probabilidade de

  1. O primeiro cliente chegar até 9h
  2. O primeiro cliente chegar entre 8h15min e 8h30min.
  3. Dois ou mais clientes chegarem antes das 8h40min, entre os cincos que chegam ao terminal. Considere que as chegadas dos clientes sejam independentes.
  4. Determine a função de distribuição cumulativa e use-a para determinar a probabilidade de o primeiro cliente chegar entre 8h15min e 8h30min.

Passo 1

Dados:

para x > 0 e f ( x ) = 0.1 e - 0.1 x

Letra a:

9 h é 60 minutos após 8h, então a probabilidade ao longo de um intervalo é a integral de f ( x ) no mesmo intervalo:

P ( 0 ≤ x ≤ 60 ) = ∫ 0 60 f ( x ) d x = ∫ 0 60 0.1 e - 0.1 x d x = ( - e - 0.1 x ) | 60 0 ≈ 0.9975 = 99.75 %

Passo 2

Letra b:

8h15 são 15 minutos após as 8h e 8h30 são 30 minutos após 8h, então a probabilidade ao longo de um intervalo é a integral de f ( x ) no mesmo intervalo:

P ( 15 ≤ x ≤ 30 ) = ∫ 15 30 f ( x ) d x = ∫ 15 30 0.1 e - 0.1 x d x = ( - e - 0.1 x ) | 30 15 ≈ 0.1733 = 17.33 %

Passo 3

Letra c:

8h40 são 40 minutos depois das 8h, então a probabilidade de um intervalo é a integral de f ( x ) no mesmo intervalo:

P ( 0 ≤ x ≤ 40 ) = ∫ 0 40 f ( x ) d x = ∫ 0 40 0.1 e - 0.1 x d x = ( - e - 0.1 x ) | 40 0 ≈ 0.9817

Usando a regra do complemento:

P ( X ≥ 4 0 ) = 1 - 0.9817 = 0.0183

Então, vamos multiplicar as probabilidades para cada dia:

P ( C h e g a r   a n t e s   d e   8 h 40 ,   e m   0   d i a s   d e   5 ) = 0.018 3 5 = 0.000000002

P ( C h e g a r   a n t e s   d e   8 h 40 ,   e m   1   d i a   d e   5 ) = 5 × 0.9817 × 0.018 3 4 = 0.000000551

Usando a regra do complemento:

P ( C h e g a r   a n t e s   d e   8 h 40   e m   2   o u   m a i s   d i a s   d e   5 ) = 1 - 0.000000002 - 0.000000551 = 0.999999447 = 99.999947 %

Passo 4

Letra d:

A função de distribuição cumulativa é a integral da função de densidade de probabilidade:

F ( x ) = ∫ 0 x f ( x ) d x = ∫ 0 x 0.1 e - 0.1 x d x = 1 - e - 0.1 x

Vamos avaliar em x = 15 e x = 30 :

F ( 15 ) = 1 - e - 0.1 ( 1 5 ) ≈ 0.7769

F ( 30 ) = 1 - e - 0.1 ( 30 ) ≈ 0.9502

A probabilidade é então a diferença entre esses dois valores:

P ( 15 ≤ X ≤ 30 ) = F ( 30 ) - F ( 15 ) = 0.9502 - 0.7769 = 0.1733 = 17.33 %

Nota que nós obtemos o mesmo resultado do item (b).

Resposta

  1. 0.9975 ou 99.75%
  2. 0.1733 ou 17.33%
  3. 0.999999447 ou 99.999947%
  4. 0.1733 ou 17.33%

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