Enunciado

Uma névoa (gotículas transportadas pelo ar ou aerossóis) é gerada quando fluidos para remoção de metal são usados em operações de máquina para resfriar e lubrificar a ferramenta e a peça. A produção de névoa é uma preocupação para a Occupational Safety and Health Administration (OSHA), que recentemente diminuiu substancialmente o nível nos locais de trabalho. O artigo "Variables Affecting Mist Generation from Metal Removal Fluids" (Lubrication Engr., 2002, p. 10–17) apresentou os dados a seguir sobre x velocidade do fluxo do fluido para um óleo 5% solúvel (cm/s) e y a quantidade de gotículas de névoa com diâmetro menor que 10 m (mg/m3 ):

a. Os pesquisadores executaram uma análise de regressão linear simples para relacionar as duas variáveis. O gráfico de dispersão dos dados apóia essa estratégia? b. Que proporção da variação observada no volume de névoa pode ser atribuída à relação de regressão linear simples entre velocidade e névoa? c. Os investigadores estavam particularmente interessados no impacto sobre a névoa ao aumentar a velocidade de 100 para 1000 (um fator de 10 correspondente à diferença entre o menor e o maior valores x na amostra). Quando x aumenta dessa forma, há alguma evidência significativa de que o aumento médio real em y é menor que 0,6? d. Estime a mudança média real na névoa associada com um aumento de velocidade de 1 cm/s. Faça isso de maneira que transmita informações sobre precisão e confiança.

Passo 1

  1. x está no eixo horizontal e y está no eixo vertical
  2. Um gráfico de dispersão dos dados suporta a estratégia de uma análise de regressão linear simples, porque o gráfico de dispersão não contém curvatura forte e o padrão no gráfico de dispersão é aproximadamente linear.

  3. Determine a equação de regressão dos mínimos quadrados
  4. Encontrando a soma de todas as colunas

    ∑ X = 2578 ,   ∑ Y = 4.43 ,   ∑ X Y = 1947.31 ,   ∑ x 2 = 1457920

    Usando as seguintes equações para encontrar a e b:

    a = ∑ Y ∑ X ² - ∑ X ∑ X Y n ∑ X ² - ∑ X 2 = 4.43 ∙ 1457920 - 2578 ∙ 1947.31 7 ∙ 1457920 - 2578 ² ≈ 0.404

    b = ∑ Y ∑ X 2 - ∑ X ∑ X Y n ∑ X 2 - ∑ X 2 = 7 ∙ 1947.31 - 2578 ∙ 4.43 7 ∙ 1457920 - 2578 2 ≈ 0.001

    Substituindo a e b na equação de regressão

    y = a + b x

    y = 0.404 + 0.001 x

    Determine os valores previstos para todos os x i dados valores.

    Determine a diferença quadrada entre os valores y observados e a média dos valores y.

    Determine a diferença quadrada entre os valores y previstos e a média dos valores y.

    Determine a diferença quadrada entre os valores y observados e os valores y previstos.

    Passo 2

    Da tabela:

    O coeficiente de determinação é a razão entre a soma dos quadrados da regressão SSR e a soma total dos quadrados SST:

    r 2 = S S R S S T = 0.1961 0.2107 ≈ 0.9307 = 93.07 %

    Isso significa que 93.07% da proporção de variação observada na névoa pode ser atribuída à relação linear simples entre velocidade e névoa

  5. Determine a diferença dos valores y que correspondem ao valor x mais baixo e mais alto:
  6. 0.99 - 0.40 = 0.59

    Não há evidências substanciais de que o verdadeiro aumento médio em y seja inferior a 0.6, porque o aumento difere apenas de 0.6 por 0.01

    Passo 3

  7. Vamos calcular um intervalo de confiança de 95%, outros níveis de confiança podem ser determinados de forma semelhante:

c = 95 % = 0.95

O erro quadrático médio é a soma dos erros quadráticos dividido pelo tamanho da amostra diminuído por 2

s 2 = M S E = S S E n - 2 = 0.0146 7 - 2 ≈ 0.00292

O erro padrão da estimativa é a raiz quadrada do erro quadrado médio

s = M S E = 0.00292 ≈ 0.0540

O desvio padrão estimado de b 1 é o erro padrão dividido pelo desvio quadrado de x da média amostral.

Os graus de liberdade são o tamanho da amostra reduzido em 2:

d f = n - 2 = 7 - 2 = 5

O valor t crítico pode ser encontrado na tabela de distribuição T de Student no apêndice na linha de d f = 5 e na coluna de α = 1 - c / 2 = 0.025

t * = 2.571

Os limites do intervalo de confiança tornam-se então:

Resposta

  1. Sim
  2. 93.07%
  3. Não
  4. (0.0008,0.0012)

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