Enunciado

Um lote de 50 arruelas contém 30 delas que são mais espessas do que a dimensão desejada. Suponha que três arruelas sejam selecionadas ao acaso, sem reposição no lote.

  1. Qual é a probabilidade de todas as três arruelas serem mais espessas do que o valor desejado?
  2. Qual será a probabilidade de que a terceira arruela selecionada seja mais espessa do que o valor desejado, se as duas primeiras arruelas selecionadas forem mais finas do que a dimensão desejada?
  3. Qual é a probabilidade de que a terceira arruela selecionada seja mais espessa do que o valor desejado?

Passo 1

Na letra a:

Três vezes seguidas, escolhemos uma arruela mais espessa que o desejado. Após cada escolha, a quantidade dessas arruelas diminui em 1, assim como a quantidade total de arruelas. Isso nos dá a seguinte probabilidade:

30 50 × 29 49 × 28 48 ≈ 0.207

Passo 2

Na letra b:

Vamos supor que as duas primeiras arruelas selecionadas fossem mais finas que o desejado. No total, restam 48 arruelas, 30 das quais são mais grossas que o desejado. Isso nos dá a seguinte probabilidade:

30 48 = 0.625

Passo 3

Na letra c:

Vamos visualizar as triplas ordenadas de arruelas como sequências binárias, onde 1 indica uma arruela mais espessa que o desejado e 0 indica uma arruela fina. Nós devemos calcular a probabilidade de que a terceira arruela seja mais espessa que o desejado; na nossa nova notação, isso significa que o último elemento da sequência é 1. As possibilidades são:

001,011,111,101

Passo 4

Agora, vamos calcular as probabilidades como nas questões a) e b):

P ( 001 ) = 20 50 × 19 49 × 30 48

P ( 011 ) = 20 50 × 30 49 × 29 48

P ( 111 ) = 30 50 × 20 49 × 28 48

P ( 101 ) = 30 50 × 20 49 × 29 48

E depois, vamos somar tudo para obter a probabilidade total da terceira arruela ser mais grossa que o desejado:

P ( 001 ) + P ( 011 ) + P ( 111 ) + P ( 101 ) = 0.6

Resposta

  1. 0.207
  2. 0.625
  3. 0.6
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