Enunciado

De um lote que contém 25 peças, das quais 5 são defeituosas, são escolhidas 4 ao acaso. Seja X o número de defeituosas encontradas. Estabeleça a distribuição de probabilidades de X quando

a) As peças foram escolhidas com reposição.

b) As peças forem escolhidas sem reposição.

Passo 1

Vamos fazer primeiro o item (a). Como nessa situação as peças são escolhidas com reposição, a probabilidade de sortear uma peça defeituosa é sempre

p = 5 25 = 1 5

Com isso, esse problema é descrito por uma distribuição binomial com p = 1 / 5 e n = 4 , já que 4 peças são escolhidas. Sabemos que, para uma distribuição binomial, vale a relação

P X = k = n k p k 1 - p n - k

Assim, para esse problema:

P X = k = 4 k ⋅ 1 5 k ⋅ 4 5 4 - k

Passo 2

No item (b) as coisas mudam completamente. Agora as peças retiradas não são repostas, de modo que a distribuição binomial deixa de valer pois para cada sorteio o valor de p muda.

O total de formas que podemos escolher 4 peças entre as 25 disponíveis é dado pela combinação 25 escolhe 4:

t o t a l = C 25,4 = 25 4

Para que saiam X = k peças defeituosas e 4 - k peças sem defeito, temos que escolher k entre 5 defeituosas e 4 - k entre 20 sem defeito:

C 5 , k ⋅ C 20,4 - k = 5 k ⋅ 20 4 - k

Nós fazemos a multiplicação pois temos que escolher k peças defeituosas E 4 - k peças sem defeito. A probabilidade é simplesmente esse número sobre o total:

P X = k = 5 k ⋅ 20 4 - k 25 4

Resposta

P X = k = 4 k ⋅ 1 5 k ⋅ 4 5 4 - k

P X = k = 5 k ⋅ 20 4 - k 25 4

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