Enunciado

A nota média de calouros em um teste de aptidão em certa faculdade é de 540, com desvio-padrão de 50. Qual é a probabilidade de que dois conjuntos de estudantes selecionados aleatoriamente, que consistem em 32 e 50 alunos, respectivamente, vão diferir em suas notas médias em

(a) mais de 20 pontos?

(b) uma quantidade entre 5 e 10 pontos? Assuma que as médias são medidas em qualquer grau de precisão.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Nós vamos usar X para a variável aleatória que tem média μ X = 540 e desvio-padrão de σ X = 50 , que descreve o primeiro grupo de n X = 32 alunos da população observada.

E vamos usar Y para a variável aleatória que tem média μ Y = 540 e desvio-padrão de σ Y = 50 , que descreve o segundo grupo de n Y = 50 alunos da população observada.

A distribuição amostral de X ^ - Y ^ será aproximadamente normal e terá a seguinte média e desvio-padrão:

μ X ^ - Y ^ = μ X - μ Y = 540 - 540 = 0

σ X ^ - Y ^ = σ X 2 n X + σ Y 2 n Y = 2500 32 + 2500 50 = 128,125 = 11,319

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

A primeira probabilidade solicitada, é que a diferença das médias amostrais observadas ser maior que 20:

P 20 < X ^ - Y ^ = P X ^ - Y ^ < - 20 + P 20 < X ^ - Y ^

= P Z < - 20 - μ X ^ - Y ^ σ X ^ - Y ^ + P 20 - μ X ^ - Y ^ σ X ^ - Y ^ < Z

= P Z < - 20 - 0 11,319 + P 20 - 0 11,319 < Z

= P Z < - 1,767 + P 1,767 < Z

= P Z < - 1,767 + 1 - P Z < 1,767

Usando os valores da tabela de valores de distribuição normal, nós temos:

= 0,0386 + 1 - 0,9614

P 20 < X ^ - Y ^ = 0,0772

Passo 3

Agora, vamos determinar a probabilidade de a diferença das médias amostrais observadas estar entre 5 e 10.

Usando o fato de que a distribuição normal é simétrica em relação ao eixo y .

P 5 < X ^ - Y ^ < 10 = 2 P 5 < X ^ - Y ^ < 10

= 2 P 5 - μ X ^ - Y ^ σ X ^ - Y ^ < Z < 10 - μ X ^ - Y ^ σ X ^ - Y ^

= 2 P 5 - 0 11,319 < Z < 10 - 0 11,319

= 2 P 0,4417 < Z < 0,8835

= 2 P Z < 0,8835 - P Z ≤ 0,4417

Usando os valores da tabela de valores de distribuição normal, nós temos:

= 2 0,8115 - 0,6706

P 5 < X ^ - Y ^ < 10 = 0,2818

Resposta

a) P 20 < X ^ - Y ^ = 0,0772  

b) P 5 < X ^ - Y ^ < 10 = 0,2818

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