Enunciado

Se 20% dos residentes em uma cidade dos Estados Unidos preferem aparelho telefônico na cor branca do que em qualquer outra cor, qual é a probabilidade de que, entre os próximos 1.000 telefones instalados na cidade,

(a) entre 170 e 185, inclusive, sejam brancos?

(b) pelo menos 210, mas não mais do que 225, sejam brancos?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Primeiro, vamos organizar as informações do enunciado.

O número de telefones instalados é n = 1000 .

Nós vamos considerar o telefone branco como sucesso, então, a probabilidade de sucesso é p = 20 % = 0 , 2 .

Usaremos X para representar o número de telefones brancos, entre 1000 telefones instalados.

Sendo assim, X tem distribuição binomial com parâmetros n = 1000 e p = 0 , 2 .

A média da distribuição binomial é:

μ = n p = 1000 0 , 2 = 200

E o desvio padrão é definido por:

σ = n p 1 - p = 1000 0 , 2 1 - 0 , 2 = 12,6491

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Precisamos encontrar a probabilidade de que sejam instalados entre 170 e 185 inclusive, então, queremos encontrar a área entre x 1 = 169,5 e x 2 = 185,5 .

z 1 = x 1 - μ σ = 169,5 - 200 12,6491 = - 2,41

z 2 = x 2 - μ σ = 1 85 , 5 - 200 12,6491 = - 1,15

Portanto, a probabilidade é:

P 169,5 ≤ X ≤ 185 = P - 2,41 < X < - 1,15

= P Z < - 1,15 - P Z < - 2,41

= 0,1251 - 0,008

P 169,5 ≤ X ≤ 185 = 0 , 1171

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de que sejam instalados pelo menos 210, mas não mais do que 225, ou seja, queremos a área a entre x 1 = 209,5 e x 2 = 225,5 .

z 1 = x 1 - μ σ = 209 , 5 - 200 12,6491 = 0,75

z 2 = x 2 - μ σ = 225 , 5 - 200 12,6491 = 2,02

A probabilidade é:

P 210 ≤ X ≤ 225 = P 0,75 < Z < 2,02

= P Z < 2,02 - P Z < 0,75

= 0,9783 - 0,7734

P 210 ≤ X ≤ 225 = 0,2049

Resposta

(a) 0 , 1171

(b) 0 , 2049

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