Enunciado

Sabe-se que a v.a. X assume os valores 1, 2 e 3 e que sua f.d.a. F(x) é tal que

F 1 - F 1 - = 1 3 ,

F 2 - F 2 - = 1 6 ,

F 3 - F 3 - = 1 2 .

Obtenha a distribuição de X, a f.d.a. F(x) e os gráficos respectivos.

Passo 1

Sabemos que P ( X = x i ) é igual ao salto que a função F ( x ) dá no ponto x i . E que P X = x i = F x i = F x i - .

Então pelo enunciado sabemos que:

P X = 1 =   F 1 - F 1 - = 1 3

P X = 2 = F 2 - F 2 - = 1 6

P X = 3 = F 3 - F 3 - = 1 2

Montando sua tabela de distribuição, teremos:

Passo 2

Agora vamos obter a f.d.a. de X ?

Temos quatro intervalos, certo? Eles são

x < 1  

1 ≤ x < 2  

2 ≤ x < 3  

x ≥ 3

Show?!

Precisamos calcular a f.d.a. de cada intervalo desse, para isso precisamos:

1°) Lembrar dos dados do enunciado

2°) Lembrar que estamos falando da distribuição acumulada, portanto sempre precisamos olhar o intervalo anterior.

Partiu?

x < 1 Bom, temos apenas três pontos no nosso enunciado e o primeiro é o ponto 1, portanto antes dele podemos afirmar que F x = 0 .

1 ≤ x < 2 Lembra da primeira coisa que falamos na questão? Aquele " F x i = F x i - " é o salto que a função dá naquele ponto. Portanto, nesse intervalo “saltamos” do 0 para o 1 3 .

2 ≤ x < 3 Fazendo a mesma coisa que fizemos no intervalo anterior, podemos ver nesse intervalo saltamos 1 6 . O maior erro que muitos comentem é pensar que por saltar 1 6 estaremos nesse ponto. Mas lembre-se que queremos a FUNÇÃO ACUMULADA. Se nós estávamos no ponto 1 3 e saltamos 1 6 chegaremos no ponto: 1 3 + 1 6 = 1 2 .

x ≥ 3 Agora já pegamos o jeito nisso, né? Como estamos no ponto 1 2 e saltamos 1 2 , chegaremos no ponto: 1 2 + 1 2 = 1 .

Escrevendo mais bonitinho...

F x = 0 ,   s e   x < 1 1 3 ,   s e   1 ≤ v < 2 1 2 ,   s e   2 ≤ x < 1 1 , s e   x ≥ 3

Passo 3

Montando um gráfico:

Resposta

F x = 0 ,   s e   x < 1 1 3 ,   s e   1 ≤ v < 2 1 2 ,   s e   2 ≤ x < 1 1 , s e   x ≥ 3

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