Enunciado

Uma urna contém inicialmente 1 bola vermelha e 1 bola azul. Em cada rodada, uma bola é retirada aleatoriamente e substituída por duas outra bolas de mesma cor (por exemplo, se a bola vermelha ê a primeira a ser escolhida, então haverá 2 bolas vermelhas e 1 bola azul na urna quando ocorrer a próxima seleção). Mostre por indução matemática que a probabilidade de que existam exatamente i bolas vermelhas na urna após n rodadas é de 1 / ( n + 1 ) , 1 ≤ i ≤ n + 1

Passo 1

O resultado é verdadeiro para n = 0 . C o m ⁡ A i representando o evento em que há i bolas vermelhas na urna após a n -ésima rodada, suponha que

P A i = 1 n + 1 , i = 1 , … , n + 1

Agora, suponha que B j , j = 1 , … , n + 2 , represente o evento em que há j bolas vermelhas na urna após a ( n + 1 ) -ésima rodada. Então,

P B j = ∑ i = 1 n + 1   P B j ∣ A i P A i

= 1 n + 1 ∑ i = 1 n + 1   P B j ∣ A i = 1 n + 1 P B j ∣ A j - 1 + P B j ∣ A j

Como há n + 2 bolas na urna após a n -ésima rodada, tem-se que P B j ∣ A j - 1 é a probabilidade de que uma bola vermelha seja escolhida quando j - 1 das n + 2 bolas na urna são vermelhas, e P B j ∣ A j é a probabilidade de que uma bola vermelha não seja escolhida quando j das n + 2 bolas na urna são vermelhas. Consequentemente,

P B j ∣ A j - 1 = j - 1 n + 2 , P B j ∣ A j = n + 2 - j n + 2

Substituindo esses resultados na equação para P B j , obtemos

P B j = 1 n + 1 j - 1 n + 2 + n + 2 - j n + 2 = 1 n + 2

o que completa a demonstração por indução.

Resposta

1 n + 2

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