Distribuição Normal

Teoria Completa

Introdução

Cara, o objetivo agora é aprender sobre o mais importante dos modelos contínuos: a distribuição normal!

Imagina que eu te peça pra achar uma variável aleatória que você já conheça e que seja tão abrangente a ponto de modelar fenômenos muito diferentes entre si, como a distribuição dos pesos de bebês recém-nascidos, as notas do ENEM e a distribuição dos erros de medição em um experimento científico. E aí, conhece alguma?

Se não veio nada na sua cabeça, não se preocupa! Acompanha aqui, porque no final desse tópico a gente vai saber tudo sobre essa variável aleatória.

Vamos ver um exemplo:

Vamos considerar o peso de recém-nascidos como uma v.a. contínua.

Além disso, vamos coletar 100 dados referentes a esses pesos, e construir um gráfico de distribuição de frequências com intervalos de classe de 500g. Teríamos o seguinte:

E se aumentássemos nossa amostra?

Se pegássemos agora 5000 pesos desses recém-nascidos, e construíssemos novamente um gráfico de frequências com intervalos de 100g, teríamos o seguinte:

Cara, percebeu o formato que nossos gráficos estão tendendo? Um formato de sino! Nosso histograma sugere essa curva aqui:

Sempre que nossos dados tiverem esse formato, dizemos que eles seguem a distribuição normal!

A Distribuição Normal

Pensando nos gráficos aí de cima, me responde o seguinte: o que que a distribuição das alturas de uma população, as notas do ENEM e a distribuição dos erros de medição em um experimento científico têm em comum?

Eu sei, é uma pergunta muito genérica, mas vê se você concorda com essa resposta: todas elas se distribuem simetricamente em torno de um valor central (uma média); valores mais próximos dessa média devem ocorrer com mais frequência, e valores mais afastados devem ser mais raros.

Essas características são o coração da distribuição normal!

Dessa forma, para esse modelo teremos 2 parâmetros:

  • μ → valor central.
  • σ ² → variância.

No gráfico, esses parâmetros significam o seguinte:

Se tivermos uma v.a. contínua X com distribuição normal, teremos o seguinte:

  • E X = μ , já que a esperança é o valor médio/central.
  • V a r X = σ ² , variância é o que mede a dispersão em torno da média, né?
  • D P X = V a r ( X ) = σ , que também é o espalhamento em torno da média.

Função de Densidade

Vou te mostrar agora exemplos dos gráficos da função de densidade f ( x ) de uma normal com média igual a 0 e variância igual a 1 (mais a frente veremos que é o caso MUITO IMPORTANTE da normal padrão):

Observe a simetria em torno de x = μ , que é também o ponto máximo.

Lembrando que a probabilidade de um valor x é igual a área sob a curva de f ( x ) até esse valor. Esse valor de prob. pode ser visto no gráfico da FDA abaixo.

Notação: X   ~   N ( μ , σ ² ) significa que a variável aleatória X tem distribuição Normal com parâmetros μ ,   σ ² .

Ufa! Tranquilo até aqui? Vamos avançar um pouco mais, vem comigo.

Normal Padrão

Cara, eu te contei que para uma v.a. continua ser normal, ela precisa seguir aqueles critérios, obedecendo aqueles parâmetros, certo? Mas pensando nisso, teremos infinitas curvas, percebe? Com média igual a 0, 1, 2, 3... Isso sem contar as diferenças de variâncias.

A parte boa aqui, é que a principal normal que você precisa saber é a normal padrão!

Se uma v.a. tem distribuição Normal com média igual a 0 e variância igual a 1, dizemos que ela tem distribuição Normal Padrão.

Chamaremos de Z uma v.a. com essa distribuição e usaremos φ e Ф para representar, respectivamente, a função densidade e a FDA dessa variável.

Se:

Z   ~   N 0 ; 1

Então:

Ф z =   P ( Z ≤ z ) = p

Obs: p ” pode ser lido como a probabilidade da v.a. aleatória Z assumir valores menores ou iguais a z , onde z pode ser qualquer valor que quisermos dentre os possíveis valores de Z .

Esse é o momento em que você se pergunta por que essa normal padrão é tão importante.

Essa normal padrão possui uma tabela com todos os seus valores de probabilidades que vamos precisar, todos os valores de Ф z .

Além disso, através de um processo simples de padronização podemos transformar qualquer v.a. X em uma v.a.   Z e descobrir o valor da probabilidade que queremos usando apenas essa tabela!

Padronização

É o simples processo de transformação de uma v.a. X na v.a. Z .

Supondo que temos,

X   ~   N μ , σ 2

chamaremos Z = X -   μ σ , com Z   ~   N ( 0,1 ) .

Assim, podemos ter por exemplo:

P ( X   ≤   a )   =   P (   X -   μ σ   ≤   a -   μ σ   )   =   P ( Z   ≤   a -   μ σ   )   =   Ф   ( a -   μ σ   )

sendo que esse será um valor encontrado na tabela!

Exemplo: vamos supor uma v.a. X que segue o modelo normal com média igual a 8 e variância igual a 4. Quanto seria P ( X ≤ 10 ) .

Solução:

X   ~   N 8 ; 4

Queremos:

P X ≤ 10 =   ?

Usamos Z = X -   μ σ ,

P X ≤ 10 = P X - μ σ ≤ 10 - μ σ

μ = 8       ,       σ = 2

P X ≤ 10 = P Z ≤ 1

Agora bastaria procurar na tabela o valor de P Z ≤ 1 = Ф ( 1 ) .

Bom, vou te explicar agora como utilizar corretamente a tabela, e algumas das possíveis formas de se cobrar a sua utilização.

Trabalhando com a Tabela

Conselho/ordem: Quero que você pegue sua tabela, e me acompanhe com ela.

Cara, sua tabelinha vai ter essa cara aqui:

Características da tabela: A tabela foi construída usando integração numérica para valores de z com duas casas decimais. Sabendo que a gaussiana possui simetria em torno do zero, a tabela só mostra os valores positivos de z , entre 0,00 e 3,99 , com passo de 0,01 .

Utilização da tabela: A parte inteira e a primeira casa decimal de z estão na borda esquerda da tabela, enquanto a segunda casa decimal de z está na borda superior da tabela. No corpo da tabela, ou seja, os valores internos da tabela são os valores da probabilidade Ф ( z ) .

Obs: Vale a pena lembrar que P ( Z ≤ z ) = P ( Z < z ) , pois a variável Z é contínua.

Veremos agora alguns casos de utilização da tabela:

  • Determinar o valor da probabilidade Ф ( z ) , com z conhecido:
  • Exemplo: Seja z = 0,83 → o valor de Ф ( z ) será encontrado cruzando a linha 0,8 com a linha 0,03 da tabela. Logo

    p = Ф ( z ) = P ( Z < 0,83 ) = 0,7967

    Tá conseguindo ver o que eu to dizendo na tabela ? Continua comigo então.

  • Determinar qualquer probabilidade relativa a Normal padrão Z .

Aqui temos vários exemplos, as coisas ficam mais complicadas.

Exemplos:

P Z > 0,75 = 1 - P Z < 0,75 = 1 - Ф 0,75 = 1 - 0,7734 = 0,2266

P ( 0,26 < Z < 1,02 ) = Ф ( 1,02 ) - Ф ( 0,26 ) = 0,8461 - 0,6026 = 0,2435

P Z < - 0,66 = P Z > 0,66 = 1 - Ф 0,66 = 1 - 0,7454 = 0,2546

P Z > - 1 , 23 = P Z < 1,23 = Ф 1,23 = 0,8907

P ( | Z | > 0,58 ) = 2 . P ( Z > 0,58 ) = 2 . ( 1   –   Ф ( 0,58 ) ) = 2 × ( 1   –   0,7190 ) = 0,5620

P Z < 0,58 = P - 0,58 < Z < 0,58 = P Z < 0,58 - P Z < - 0,58 = Ф 0,58 - 1 - Ф 0,58 = 2 . Ф 0,58 - 1

O caso do módulo é útil quando tratarmos de distâncias por exemplo.

Uma outra maneira de cobrar é fazer justamente o inverso, o problema pode te dar uma probabilidade e te pedir o valor de z .

Exemplo: Se X   ~   N ( 20,25 ) e P ( X > b ) = 0,40 , quanto vale b ?

Solução:

P X > b =   1   –   Ф b - 20 5 = 0,40

Ф b - 20 5 = 0,60

Da tabela normal temos:

b - 20 5 = 0,25

e então descobrimos o valor de b = 21,25 .

Obs: Dá pra perceber a infinidade de problemas, o exercício poderia dar por exemplo o valor da probabilidade Ф ( x ) , o valor de x e σ e pedir o valor de μ . Pra não errar, é só ter calma, analisar sem pressa o que está sendo pedido e ter atenção na tabela.

É, acho que aprendemos bastante coisa agora. Acredito que você esteja assim.

Mas tudo bem! Nos exercícios vai ficar tudo mais claro, fica tranquilo.

Antes de prosseguir, pare para um cafezinho, um bom chopp ou um simples copo d’água para dar aquela relaxada!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UERJ-lista 2 prof Fabiano-14

Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de atendimento telefônico siga uma distribuição normal de média de 8 minutos e desvio padrão de 2 minutos.

a) Qual é a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos?

b) E mais do que 9,5 minutos?

c) E entre 7 e 10 minutos?

d) 75% das chamadas telefônicas requerem pelo menos quanto tempo de atendimento?

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Passo 1

(a)

Se a gente chamar de X a v.a. que representa o tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de atendimento telefônico.

De acordo com o enunciado,

X   ~   N o r m a l ( 8 ; 4 )

Já que a média é: μ = 8 .

E o desvio padrão é:   σ = 2 .

Passo 2

Probabilidade de durar menos 5 minutos é:

P X < 5 =   ?

Fazendo a padronização:

P X < 5 = P Z < 5 - 8 2

= P Z < - 1,5

Invertendo os sinais:

= P ( Z > 1,5 )

= 1 - P ( Z < 1,5 )

= 1 - Φ 1,5

Usando a tabela da Normal, cruzando a linha 1,5 com a coluna 0,00, encontramos que:

Φ 1,5 = 0,9332

Logo:

P X < 5 = 1 - 0,9332 = 0,0668

Passo 3

(b)

P X > 9,5 =   ?

Padronizando..

= P Z > 9,5 - 8 2

= P Z > 0,75

= 1 - P Z < 0,75

= 1 - Φ 0,75

Usando a tabela novamente..

Φ 0,75 = 0,7734

P X > 9,5 = 1 - 0,7734

P X > 9,5 = 0,2266

Passo 4

(c)

P 7 < X < 10 =   ?  

Padronizando...

= P 7 - 8 2 < Z < 10 - 8 2

= P - 0,5 < Z < 1

= Φ 1 - Φ - 0,5

Usando a tabela..

Φ 1 = 0,8413

Com Φ ( 0,5 ) e Φ ( - 0,5 ) temos que:

Φ - 0,5 = 1 - Φ 0,5 = 1 - 0,6915

= 0,3085

Pra fechar então:

P 7 < X < 10 = 0,8413 - 0,3085

P 7 < X < 10 = 0,5328

Passo 5

(d)

Beleza, agora pensa aqui comigo!

Nós queremos saber, ao menos quanto tempo é necessário para atender 75% das chamadas...

Então, sobre esse tempo, digamos que ele seja um valor k, 75% das chamadas demoram MENOS que esse valor. Com isso, podemos escrever que a probabilidade do tempo da chamada ser menor que k é igual a 75%, certo?

P X < k = 0,75

Padronizando..

P Z < k - 8 2 = 0,75

Φ k - 8 2 = 0,75

Ou seja:

Φ k - 8 2 = 0 , 7 5

O valor da tabela que nos dá 0,75 de probabilidade é o 0,67 .

Com isso:

k - 8 2 = 0,67

k - 8 = 1,34

k = 9,34   m i n u t o s

k ≅ 9,3   m i n u t o s

Resposta

a   0,0668

b   0,2266

c   0,5328

d   9,3   m i n u t o s

Exercício Resolvido #2

UFRJ-P1-2013.2-3

Suponha que a altura dos homens em uma certa cidade tem distribuição Normal com média μ = 1,80 m e desvio padrão, σ = 10 c m . Calcule:

  1. A probabilidade de um homem ter mais de 1,90 m   de altura.
  2. O valor em metros abaixo do qual estão as alturas de 30% desses homens.
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Passo 1

O exercício diz pra gente o que ? Que temos uma v.a. X ;

X : a l t u r a   d e   h o m e n s   d e   u m a   c i d a d e

E que essa v.a. segue uma distribuição Normal, com μ = 1,80 m e σ = 10 c m .

Lembrando que os parâmetros da Normal são μ e σ ² .

X   ~   N o r m a l   1,80 ; 10 2

Maaaas.. atenção, vamos ajeitar as unidades. Um valor tá em metros e o outro em centímetros, vou colocar tudo em centímetros.

X   ~   N o r m a l   ( 180 ; 10 2 )

Passo 2

(a)

O exercício quer que a gente calcule P ( X > 190 ) , concorda ?

Fazendo o processo de padronização da Normal.

P X > 190 = P Z > 190 - 180 10

        = P Z > 1

                        = 1 - P Z < 1

        = 1 - Φ 1

Procurando na tabela o valor de Φ ( 1 ) , cruzando a linha 1 com a coluna 0,00, vamos ter.

P X > 190 = 1 - 0,8413

= 0,1587

Passo 3

(b)

A gente quer o valor em metros abaixo do qual estão 30% dos homens dessa cidade. Vamos chamar esse valor de k .

A gente sabe então que:

P X < k = 0,30

Usando o processo de padronização:

P Z < k - 180 10 = 0,30

Tá! Mas qual valor de Z que na tabela eu encontro probabilidade 0,30 ? Nenhum, porque na tabela só tem valores de probabilidade maiores que 0,5, lembra ?

Só que como a Normal tem simetria, procurar um valor z que tenha probabilidade 0,30 é o mesmo que procurar um valor que tenha probabilidade 1 - 0,3 → 0,7 e trocar o sinal.

Se você olhar aí na sua tabela, o valor que dá a prob. mais próxima de 0,70 é o z = 0,52 .

Então a gente vai usar na verdade o z = - 0,52 .

Passo 4

Como:

z = k - 180 10

E z = - 0,52 , então:

- 0,52 = k - 180 10

k = 180 - 5,2

k = 174,8   c m

Como o problema pede em metros, nossa resposta final é:

k = 1,748   m

Resposta

a   0,1587

b   1,748   m

Exercício Resolvido #3

PUCRIO-P2-2013.2-3

A vazão instantânea de um rio ( m 3 / s ) em um determinado momento do mês de março (mais úmido) pode ser modelada por uma v.a. normal com média e variância iguais a 100 . Por motivos de auditoria, exige-se uma memória de cálculo para todos os passos do projeto (explicação formal dos cálculos realizados). Assim, responda as seguintes questões:

  1. Desejamos dimensionar a potência de uma hidrelétrica a ser construída na cabeceira deste rio. Para isso, precisamos encontrar o valor crítico de vazão instantânea do mês mais úmido que não é excedido com 95 % de probabilidade. Calcules este valor.
  2. Calcule a probabilidade de um dado momento do mês de março apresentar valores entre 88 e 110 m ³ / s .
  3. Suponha que tenhamos uma amostra de 6 medições de vazões instantâneas dos meses de março. Calcule a probabilidade da média destas vazões ser superior a 110 m ³ / s .

Dado: Distribuição normal de uma média x - : N o r m a l     μ   ; σ 2 n

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Passo 1

(a)

X → vazões instantâneas do mês de março.

De acordo com o enunciado, a gente tem que:

X   ~   N o r m a l   100 ; 100

Primeiro o exercício quer que a gente calcule pra qual valor de X , temos 95 % das vazões abaixo.

Reescrevendo isso...

P X ≤ a = 95 %

Temos que calcular esse a aí, que é o valor de X que não é ultrapassado por 95 % dos valores possíveis.

Passo 2

Primeiro a gente padroniza, como sempre nas questões de Normal.

P X ≤ a = P Z ≤ a - 100 10 = 0,95

Agora vamos na tabela da Normal procurar pelo valor que nos dá 0,95 como probabilidade. Pra isso, vamos caçar o 0,95 dentro da tabela e ver o valor que gera ele.

z = 1,64

Passo 3

Agora é só igualar...

a - 100 10 = 1,64

a = 116,4   m ³ / s

Você poderia usar 1,645 também, já que o 0,95   está entre 0,9495 e 0,9505 que são os valores tabelados. Com isso:

a = 116,45   m ³ / s

Passo 4

(b)

Vamos calcular...

P 88 < X < 110 =   ?

Padronizando...

P 88 - 100 10 < Z < 110 - 100 10 = P - 1,2 < Z < 1

= P Z < 1 - P Z < - 1,2

Trocando o sinal de menos de dentro dali...

= P Z < 1 - P Z > 1,2

= P Z < 1 - 1 - P Z < 1,2