Distribuição Normal

Teoria Completa

Introdução

Cara, o objetivo agora é aprender sobre o mais importante dos modelos contínuos: a distribuição normal!

Imagina que eu te peça pra achar uma variável aleatória que você já conheça e que seja tão abrangente a ponto de modelar fenômenos muito diferentes entre si, como a distribuição dos pesos de bebês recém-nascidos, as notas do ENEM e a distribuição dos erros de medição em um experimento científico. E aí, conhece alguma?

Se não veio nada na sua cabeça, não se preocupa! Acompanha aqui, porque no final desse tópico a gente vai saber tudo sobre essa variável aleatória.

Vamos ver um exemplo:

Vamos considerar o peso de recém-nascidos como uma v.a. contínua.

Além disso, vamos coletar 100 dados referentes a esses pesos, e construir um gráfico de distribuição de frequências com intervalos de classe de 500g. Teríamos o seguinte:

E se aumentássemos nossa amostra?

Se pegássemos agora 5000 pesos desses recém-nascidos, e construíssemos novamente um gráfico de frequências com intervalos de 100g, teríamos o seguinte:

Cara, percebeu o formato que nossos gráficos estão tendendo? Um formato de sino! Nosso histograma sugere essa curva aqui:

Sempre que nossos dados tiverem esse formato, dizemos que eles seguem a distribuição normal!

A Distribuição Normal

Pensando nos gráficos aí de cima, me responde o seguinte: o que que a distribuição das alturas de uma população, as notas do ENEM e a distribuição dos erros de medição em um experimento científico têm em comum?

Eu sei, é uma pergunta muito genérica, mas vê se você concorda com essa resposta: todas elas se distribuem simetricamente em torno de um valor central (uma média); valores mais próximos dessa média devem ocorrer com mais frequência, e valores mais afastados devem ser mais raros.

Essas características são o coração da distribuição normal!

Dessa forma, para esse modelo teremos 2 parâmetros:

  • μ → valor central.
  • σ ² → variância.

No gráfico, esses parâmetros significam o seguinte:

Se tivermos uma v.a. contínua X com distribuição normal, teremos o seguinte:

  • E X = μ , já que a esperança é o valor médio/central.
  • V a r X = σ ² , variância é o que mede a dispersão em torno da média, né?
  • D P X = V a r ( X ) = σ , que também é o espalhamento em torno da média.

Função de Densidade

Vou te mostrar agora exemplos dos gráficos da função de densidade f ( x ) de uma normal com média igual a 0 e variância igual a 1 (mais a frente veremos que é o caso MUITO IMPORTANTE da normal padrão):

Observe a simetria em torno de x = μ , que é também o ponto máximo.

Lembrando que a probabilidade de um valor x é igual a área sob a curva de f ( x ) até esse valor. Esse valor de prob. pode ser visto no gráfico da FDA abaixo.

Notação: X   ~   N ( μ , σ ² ) significa que a variável aleatória X tem distribuição Normal com parâmetros μ ,   σ ² .

Ufa! Tranquilo até aqui? Vamos avançar um pouco mais, vem comigo.

Normal Padrão

Cara, eu te contei que para uma v.a. continua ser normal, ela precisa seguir aqueles critérios, obedecendo aqueles parâmetros, certo? Mas pensando nisso, teremos infinitas curvas, percebe? Com média igual a 0, 1, 2, 3... Isso sem contar as diferenças de variâncias.

A parte boa aqui, é que a principal normal que você precisa saber é a normal padrão!

Se uma v.a. tem distribuição Normal com média igual a 0 e variância igual a 1, dizemos que ela tem distribuição Normal Padrão.

Chamaremos de Z uma v.a. com essa distribuição e usaremos φ e Ф para representar, respectivamente, a função densidade e a FDA dessa variável.

Se:

Z   ~   N 0 ; 1

Então:

Ф z =   P ( Z ≤ z ) = p

Obs: p ” pode ser lido como a probabilidade da v.a. aleatória Z assumir valores menores ou iguais a z , onde z pode ser qualquer valor que quisermos dentre os possíveis valores de Z .

Esse é o momento em que você se pergunta por que essa normal padrão é tão importante.

Essa normal padrão possui uma tabela com todos os seus valores de probabilidades que vamos precisar, todos os valores de Ф z .

Além disso, através de um processo simples de padronização podemos transformar qualquer v.a. X em uma v.a.   Z e descobrir o valor da probabilidade que queremos usando apenas essa tabela!

Padronização

É o simples processo de transformação de uma v.a. X na v.a. Z .

Supondo que temos,

X   ~   N μ , σ 2

chamaremos Z = X -   μ σ , com Z   ~   N ( 0,1 ) .

Assim, podemos ter por exemplo:

P ( X   ≤   a )   =   P (   X -   μ σ   ≤   a -   μ σ   )   =   P ( Z   ≤   a -   μ σ   )   =   Ф   ( a -   μ σ   )

sendo que esse será um valor encontrado na tabela!

Exemplo: vamos supor uma v.a. X que segue o modelo normal com média igual a 8 e variância igual a 4. Quanto seria P ( X ≤ 10 ) .

Solução:

X   ~   N 8 ; 4

Queremos:

P X ≤ 10 =   ?

Usamos Z = X -   μ σ ,

P X ≤ 10 = P X - μ σ ≤ 10 - μ σ

μ = 8       ,       σ = 2

P X ≤ 10 = P Z ≤ 1

Agora bastaria procurar na tabela o valor de P Z ≤ 1 = Ф ( 1 ) .

Bom, vou te explicar agora como utilizar corretamente a tabela, e algumas das possíveis formas de se cobrar a sua utilização.

Trabalhando com a Tabela

Conselho/ordem: Quero que você pegue sua tabela, e me acompanhe com ela.

Cara, sua tabelinha vai ter essa cara aqui:

Características da tabela: A tabela foi construída usando integração numérica para valores de z com duas casas decimais. Sabendo que a gaussiana possui simetria em torno do zero, a tabela só mostra os valores positivos de z , entre 0,00 e 3,99 , com passo de 0,01 .

Utilização da tabela: A parte inteira e a primeira casa decimal de z estão na borda esquerda da tabela, enquanto a segunda casa decimal de z está na borda superior da tabela. No corpo da tabela, ou seja, os valores internos da tabela são os valores da probabilidade Ф ( z ) .

Obs: Vale a pena lembrar que P ( Z ≤ z ) = P ( Z < z ) , pois a variável Z é contínua.

Veremos agora alguns casos de utilização da tabela:

  • Determinar o valor da probabilidade Ф ( z ) , com z conhecido:
  • Exemplo: Seja z = 0,83 → o valor de Ф ( z ) será encontrado cruzando a linha 0,8 com a linha 0,03 da tabela. Logo

    p = Ф ( z ) = P ( Z < 0,83 ) = 0,7967

    Tá conseguindo ver o que eu to dizendo na tabela ? Continua comigo então.

  • Determinar qualquer probabilidade relativa a Normal padrão Z .

Aqui temos vários exemplos, as coisas ficam mais complicadas.

Exemplos:

P Z > 0,75 = 1 - P Z < 0,75 = 1 - Ф 0,75 = 1 - 0,7734 = 0,2266

P ( 0,26 < Z < 1,02 ) = Ф ( 1,02 ) - Ф ( 0,26 ) = 0,8461 - 0,6026 = 0,2435

P Z < - 0,66 = P Z > 0,66 = 1 - Ф 0,66 = 1 - 0,7454 = 0,2546

P Z > - 1 , 23 = P Z < 1,23 = Ф 1,23 = 0,8907

P ( | Z | > 0,58 ) = 2 . P ( Z > 0,58 ) = 2 . ( 1   –   Ф ( 0,58 ) ) = 2 × ( 1   –   0,7190 ) = 0,5620

P Z < 0,58 = P - 0,58 < Z < 0,58 = P Z < 0,58 - P Z < - 0,58 = Ф 0,58 - 1 - Ф 0,58 = 2 . Ф 0,58 - 1

O caso do módulo é útil quando tratarmos de distâncias por exemplo.

Uma outra maneira de cobrar é fazer justamente o inverso, o problema pode te dar uma probabilidade e te pedir o valor de z .

Exemplo: Se X   ~   N ( 20,25 )