Distribuição Uniforme

Teoria Completa

Modelo Uniforme Contínuo

Cara, vamos ver uma distribuição contínua muito importante: a distribuição uniforme. A ideia é que no final desse texto você consiga calcular probabilidades, a esperança e a variância nesse novo modelo.

Vamos começar com um exemplo:

Exemplo: Helena é aluna de engenharia química e todos os dias vai de ônibus até sua faculdade. Há somente um ônibus que lhe serve, e ele costuma passar pelo ponto em qualquer instante entre 7 h e 7 h 30 . Se num certo dia Helena chega ao ponto às 7 h 24 , qual a probabilidade de que ela consiga pegar o ônibus ?

A primeira coisa que a gente tem que sacar antes de começar a resolver esse problema é que a gente tem que usar algum modelo contínuo, porque o enunciado tá falando que o ônibus pode chegar em qualquer instante entre 7h e 7h30. Lembra que em geral a gente modela o tempo como uma variável contínua!

A parada é você aprender a aplicar as fórmulas. Acompanha essa fórmula aqui embaixo que depois a gente vai aplicar ela no exemplo:

Umaa variável aleatória X tem distribuição uniforme e contínua no intervalo [ a , b ] , se sua função de densidade f ( x ) é dada por:

f x = 1 b - a   ,                   s e   a ≤ x ≤ b           0   ,                                 c a s o   c o n t r á r i o

Notação: Para indicar que a v.a. X segue esse modelo no intervalo [ a , b ] , escrevemos X   ~   U ( a , b ) .

Então pra gente calcular probabilidades com essa v.a. a gente tem que integrar no intervalo pedido, certo?

No nosso exemplo, chamamos

X :   instante de chegada do ônibus no ponto em minutos

Vamos tomar 7h como 0 e 7h30 como 30. Aí escrevemos

X   ~   U 0 , 30

E o que a gente quer calcular é P X > 24 .

Assim,

P X > 24 = ∫ 24 30 1 30 - 0 d x =   6 30 = 0,2

Esperança e Variância

É importante decorar também que para v.a. uniforme:

E X = a + b 2

Var X = b - a 2 12

No nosso exemplo,

E X =   0 + 30 2 = 15

Só lembrando que o 15 representa 7h15, então o valor esperado da chegada do ônibus é 7h15.

V a r X =   30 - 0 2 12 = 75

Função de densidade e FDA

Vamos só ver qual é a cara das nossas funções de densidade e FDA:

A nossa f ( x ) terá essa cara.

Fazendo as integrais necessárias, chegamos a FDA.

F x = 0   ,                   s e   x ≤ a x - a b - a   ,                   s e   a < x ≤ b 1   ,                     s e     x > b

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Exercício Resolvido #1

UFRJ-P1-2014.2.-3A

Por saber que há uma grande procura por imóveis em determinada região muito valorizada, uma construtora decide comprar um terreno e construir uma casa nesse local.

  1. Uma parte dos recursos necessários para isso será obtida através de um financiamento. Especialmente, admita que o percentual do gasto total a ser financiado se comporta como uma variável aleatória com distribuição Uniforme entre 40 % e 70 % . Qual é o coeficiente de variação dessa variável?
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Passo 1

(a)

Temos uma v.a. que representa o gasto total a ser financiado que segue uma distribuição Uniforme entre 40 e 70 .

X   ~   U 40 ; 70

E vamos calcular o coeficiente de variação que é o desvio padrão dividido pela média:

c v = σ E X

Passo 2

Pra calcular a média e o desvio padrão de uma distribuição uniforme é só lembrar das fórmulas.

E X = a + b 2 = 40 + 70 2

E X = 55

Passo 3

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância que é:

V a r X = b - a 2 12 = 70 - 40 2 12

V a r X = 75

O desvio padrão vai ser:

σ = 75

Passo 4

Juntar tudo pra ter o coeficiente de variação:

c v = 75 55

c v ≅ 0,157

Resposta

a ≅ 0,157

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P2-2013.1-3

Seja X uma variável aleatória contínua com densidade Uniforme no intervalo de - θ , + θ .

Em cada caso abaixo calcule " θ " de forma a satisfazer a condição dada.

  1. P X > 1 2 = 1 4
  2. P X < 1 4 = 3 4
  3. P X > 1 2 = 2 . P X < - 1
  4. P X < 1 2 = 2 . P X > 1 4
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Passo 1

Estamos tratando de uma v.a. com densidade Uniforme, vamos primeiro recapitular qual a função de densidade da v.a. Uniforme.

f x = 1 b - a   ,                   s e   a ≤ x ≤ b           0   ,                                 c a s o   c o n t r á r i o

Porém, pra calcular as probabilidades, vamos usar a função acumulada FDA, que é:

F x = 0   ,                   s e   x ≤ a x - a b - a   ,                   s e   a ≤ x ≤ b 1   ,                     s e     x ≥ b

Nessa questão, como o intervalo é - θ , + θ , vamos ter que:

a = - θ

b = θ

Aí vamos ter:

F x = x + θ 2 θ

Beleza?

Passo 2

(a)

P X > 1 2 = 1 4

P X > 1 2 = 1 - P X < 1 2

Usando a FDA, é só substituir x = 1 2 .

= 1 - 1 2 + θ 2 θ

Isso tem que ser igual a 1 4 .

1 - 1 2 + θ 2 θ = 1 4

Passo 3

Matemática... mudando as coisas de lado...

1 2 + θ 2 θ = 3 4

1 2 + θ = 3 2 . θ

θ - 3 2 θ = - 1 2

- 1 2 θ = - 1 2

θ = 1

Passo 4

(b)

P X < 1 4 = 3 4

É só aplicar direto a FDA.

P X < 1 4 = 1 4 + θ 2 θ = 3 4

1 4 + θ = 3 2 θ

θ - 3 2 θ = - 1 4

- 1 2 θ = - 1 4

θ = 1 2

Passo 5

(c)

P X > 1 2 = 2 . P X < - 1

Partes por partes...

P X > 1 2 = 1 - P X < 1 2

= 1 - 1 2 + θ 2 θ

E:

P X < - 1 = - 1 + θ 2 θ

Agora é só juntar tudo numa equação e resolver.

Passo 6

P X > 1 2 = 2 . P X < - 1

1 - 1 2 + θ 2 θ = 2 . - 1 + θ 2 θ

Cortando o 2   ali.

1 - 1 2 + θ 2 θ = - 1 + θ θ

Vou multiplicar geral por 2 θ .

2 θ - 1 2 + θ = - 2 + 2 θ

Corta o 2 θ dos dois lados...

- 1 2 - θ = - 2

θ = - 1 2 + 2

θ = 3 2

Passo 7

(d)

P X < 1 2 = 2 . P X > 1 4

Mesma coisa, uma de cada vez.

P X < 1 2 = 1 2 + θ 2 θ

P X > 1 4 = 1 - 1 4 + θ 2 θ

Joga na equação e resolve.

Passo 8

1 2 + θ 2 θ = 2 . 1 - 1 4 + θ 2 θ

1 2 + θ 2 θ = 2 - 1 4 + θ θ

Multiplicar todo mundo por 2 θ de novo.

1 2 + θ = 4 θ - 1 2 + 2 θ

1 2 + θ = 4 θ - 1 2 - 2 θ

1 2 + θ = 2 θ - 1 2

θ = 1

Resposta

a   θ = 1

b   θ = 1 2

c   θ = 3 2

d   θ = 1

Exercício Resolvido #3

CEFET-LISTA VA- REGINA-7

A espessura de um semicondutor, está uniformemente distribuída entre 0,2050 μ m e 0,2150 μ m (micrômetros).

  1. Determine a função de distribuição da espessura do semicondutor.
  2. Determine a proporção de semicondutores que excedem 0,2125 μ m em sua espessura.
  3. Que espessura é excedida por 10% dos semicondutores?
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Passo 1

(a)

Sabemos que a espessura está uniformemente distribuída.

X   ~   U 0,2050 ; 0,2150

A gente sabe que a função de distribuição tem a cara:

F x = 0   ,                   s e   x ≤ a x - a b - a   ,                   s e   a ≤ x ≤ b 1   ,                     s e     x ≥ b