Teoria Completa
Modelo Uniforme Contínuo
Cara, vamos ver uma distribuição contínua muito importante: a distribuição uniforme. A ideia é que no final desse texto você consiga calcular probabilidades, a esperança e a variância nesse novo modelo.
Digamos que Helena é aluna de engenharia química e todos os dias vai de ônibus até sua faculdade. Há somente um ônibus que lhe serve, e ele costuma passar pelo ponto em qualquer instante entre e . Se num certo dia Helena chega ao ponto às , qual a probabilidade de que ela consiga pegar o ônibus?
A primeira coisa que a gente tem que sacar antes de começar a resolver esse problema é que devemos usar algum modelo contínuo, porque o enunciado tá falando que o ônibus pode chegar em qualquer instante entre 7h e 7h30. Beleza?!
Percebe que em qualquer momento desse intervalo, o ônibus tem a mesma probabilidade de chegar?! Isto é, ele pode chegar às 7:15 ou às 7:20, ou às 7:25, ou seja, em qualquer instante desse intervalo com exatamente a mesma probabilidade!
Como é uma variável aleatória contínua não podemos calcular a probabilidade para um valor específico, mas para um intervalo de valores. Lembra que em geral a gente modela o tempo como uma variável contínua?!
A parada é você aprender a aplicar as fórmulas. Acompanha essa fórmula aqui embaixo que depois a gente vai aplicar ela no exemplo:
Uma variável aleatória tem distribuição uniforme e contínua no intervalo , se sua função de densidade é dada por:
Notação: Para indicar que a v.a. segue esse modelo no intervalo , escrevemos .
Então, pra gente calcular probabilidades com essa v.a. a gente tem que integrar no intervalo pedido, certo?
No nosso exemplo, chamamos
Helena chega ao ponto às A partir desse momento, qualquer hora
que o ônibus chegar tá valendo...
Vamos tomar 7h como 0 e 7h30 como 30. Aí escrevemos
E o que a gente quer calcular é .
Prontinho, descobrimos a probabilidade!
Esperança e Variância
É importante decorar também que para v.a. uniforme:
No caso que o valor esperado sempre será o meio do intervalo.
No nosso exemplo,
Só lembrando que o 15 representa 7h15, então o valor esperado da chegada do ônibus é 7h15.
Utilizando a fórmula para calcular a
Função de densidade e FDA
Vamos só ver qual é a cara das nossas funções de densidade e FDA:
A nossa terá essa cara.
Fazendo as integrais necessárias, chegamos a FDA.
Belezinha?! Vamos praticar pra ficar no sangue??
Exercício Resolvido #1
Por saber que há uma grande procura por imóveis em determinada região muito valorizada, uma construtora decide comprar um terreno e construir uma casa nesse local.
- Uma parte dos recursos necessários para isso será obtida através de um financiamento. Especialmente, admita que o percentual do gasto total a ser financiado se comporta como uma variável aleatória com distribuição Uniforme entre e . Qual é o coeficiente de variação dessa variável?
Passo 1
(a)
Temos uma v.a. que representa o gasto total a ser financiado que segue uma distribuição Uniforme entre e .
E vamos calcular o coeficiente de variação que é o desvio padrão dividido pela média:
Passo 2
Pra calcular a média e o desvio padrão de uma distribuição uniforme é só lembrar das fórmulas.
Passo 3
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância que é:
O desvio padrão vai ser:
Passo 4
Juntar tudo pra ter o coeficiente de variação:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Seja uma variável aleatória contínua com densidade Uniforme no intervalo de .
Em cada caso abaixo calcule de forma a satisfazer a condição dada.
Passo 1
Estamos tratando de uma v.a. com densidade Uniforme, vamos primeiro recapitular qual a função de densidade da v.a. Uniforme.
Porém, pra calcular as probabilidades, vamos usar a função acumulada FDA, que é:
Nessa questão, como o intervalo é , vamos ter que:
Aí vamos ter:
Beleza?
Passo 2
(a)
Usando a FDA, é só substituir .
Isso tem que ser igual a .
Passo 3
Matemática... mudando as coisas de lado...
Passo 4
(b)
É só aplicar direto a FDA.
Passo 5
(c)
Partes por partes...
E:
Agora é só juntar tudo numa equação e resolver.
Passo 6
Cortando o ali.
Vou multiplicar geral por .
Corta o dos dois lados...
Passo 7
(d)
Mesma coisa, uma de cada vez.
Joga na equação e resolve.
Passo 8
Multiplicar todo mundo por de novo.
Resposta
Exercício Resolvido #3
A espessura de um semicondutor, está uniformemente distribuída entre 0,2050 e 0,2150 (micrômetros).
- Determine a função de distribuição acumulada da espessura do semicondutor.
- Determine a proporção de semicondutores que excedem 0,2125 em sua espessura.
- Que espessura é excedida por 10% dos semicondutores?
Passo 1
(a)
Sabemos que a espessura está uniformemente distribuída.
A gente sabe que a função de distribuição tem a cara:
Substituindo os valores de e :
Passo 2
Para calcular então, basta a gente fazer:
Esse 0,01 aí é exatamente a amplitude total .
Passo 3
(c)
Temos que:
Onde é a espessura excedida por 10% dos semicondutores.
Resolvendo:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Você está interessado em dar um lance em um leilão de um lote de terra. Você sabe que existe um outro licitante. Pelas regras estabelecidas para este leilão, o lance mais alto acima de será aceito. Suponha que o lance do seu competidor seja uma variável aleatória uniformemente distribuída entre e .
- Se você der uma lance de , qual é a probabilidade de você ficar com o lote?
Passo 1
a)
O enunciado nos diz que:
Sabemos que a função de densidade de uma distribuição uniforme é dada por
Onde é o nosso intervalo . Então no nosso caso fica:
E a probabilidade pedida é de com um lance de nós ganharmos do competidor, ou seja, o lance dele deve ser menor que isso:
Podemos calcular essa probabilidade integrando a função de densidade:
Passo 2
Resposta
Exercício Resolvido #5
O rótulo de uma lata de coca-cola indica que o conteúdo é de . Suponha que a linha de produção encha as latas de forma que o conteúdo seja uniformemente distribuído no intervalo .
O controle de qualidade aceita uma lata com conteúdo dentro de do conteúdo exibido na lata. Qual é a proporção de latas rejeitadas nessa linha de produção?
Passo 1
O controle de qualidade aceita latas que estejam dentro do intervalo de , ou seja, .
Para saber a proporção de latas rejeitadas, temos que saber a proporção de latas que o controle de qualidade rejeita, ou seja, a proporção de latas fora desse intervalo. Denotando o conteúdo de uma lata por :
Porque deve ser menor que maior que , e em probabilidade nós somamos duas probabilidades. Vamos calcular cada uma delas então.
Nossa função de densidade é:
Onde e , então:
Passo 2
Então:
E a outra:
E chegamos em: