Distribuição Uniforme

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Teoria

Modelo Uniforme Contínuo

Cara, vamos ver uma distribuição contínua muito importante: a distribuição uniforme. A ideia é que no final desse texto você consiga calcular probabilidades, a esperança e a variância nesse novo modelo.

Digamos que Helena é aluna de engenharia química e todos os dias vai de ônibus até sua faculdade. Há somente um ônibus que lhe serve, e ele costuma passar pelo ponto em qualquer instante entre 7 h e 7 h 30 . Se num certo dia Helena chega ao ponto às 7 h 24 , qual a probabilidade de que ela consiga pegar o ônibus?

A primeira coisa que a gente tem que sacar antes de começar a resolver esse problema é que devemos usar algum modelo contínuo, porque o enunciado tá falando que o ônibus pode chegar em qualquer instante entre 7h e 7h30. Beleza?!

Percebe que em qualquer momento desse intervalo, o ônibus tem a mesma probabilidade de chegar?! Isto é, ele pode chegar às 7:15 ou às 7:20, ou às 7:25, ou seja, em qualquer instante desse intervalo com exatamente a mesma probabilidade!

Como é uma variável aleatória contínua não podemos calcular a probabilidade para um valor específico, mas para um intervalo de valores. Lembra que em geral a gente modela o tempo como uma variável contínua?!

A parada é você aprender a aplicar as fórmulas. Acompanha essa fórmula aqui embaixo que depois a gente vai aplicar ela no exemplo:

Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme e contínua no intervalo [ a , b ] , se sua função de densidade f ( x ) é dada por:

f x = 1 b - a   ,                   s e   a ≤ x ≤ b           0   ,                                 c a s o   c o n t r á r i o

Notação: Para indicar que a v.a. X segue esse modelo no intervalo [ a , b ] , escrevemos X   ~   U ( a , b ) .

Então, pra gente calcular probabilidades com essa v.a. a gente tem que integrar no intervalo pedido, certo?

No nosso exemplo, chamamos

X :   i n s t a n t e   d e   c h e g a d a   d o   ô n i b u s   n o   p o n t o   e m   m i n u t o s

Helena chega ao ponto às 7 h 24 . A partir desse momento, qualquer hora

que o ônibus chegar tá valendo...

Vamos tomar 7h como 0 e 7h30 como 30. Aí escrevemos

X   ~   U 0 ,   30

E o que a gente quer calcular é P X > 24 .

P ( X   >   x ) = ∫ x b f ( x ) d x = ∫ x b 1 b - a d x

P ( X   > 24 ) = ∫ 24 30 1 30 - 0 d x

P X > 24 =   x 30 24 30

P X > 24 = 1 - 24 30

P X > 24 =   6 30

P X > 24 = 0,2

Prontinho, descobrimos a probabilidade!

Esperança e Variância

É importante decorar também que para v.a. uniforme:

E X = a + b 2

V a r X = b - a 2 12

No caso que o valor esperado E X sempre será o meio do intervalo.

No nosso exemplo,

E X =   0 + 30 2 = 15

Só lembrando que o 15 representa 7h15, então o valor esperado da chegada do ônibus é 7h15.

Utilizando a fórmula para calcular a V a r X :

V a r X =   30 - 0 2 12 = 75

Função de densidade e FDA

Vamos só ver qual é a cara das nossas funções de densidade e FDA:

A nossa f ( x ) terá essa cara.

Fazendo as integrais necessárias, chegamos a FDA.

F x = 0   ,                   s e   x ≤ a x - a b - a   ,                   s e   a < x ≤ b 1   ,                     s e     x > b

Belezinha?! Vamos praticar pra ficar no sangue??

Esperança e Variância

Função de densidade e FDA

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Por saber que há uma grande procura por imóveis em determinada região muito valorizada, uma construtora decide comprar um terreno e construir uma casa nesse local.

  1. Uma parte dos recursos necessários para isso será obtida através de um financiamento. Especialmente, admita que o percentual do gasto total a ser financiado se comporta como uma variável aleatória com distribuição Uniforme entre 40 % e 70 % . Qual é o coeficiente de variação dessa variável?

Passo 1

(a)

Temos uma v.a. que representa o gasto total a ser financiado que segue uma distribuição Uniforme entre 40 e 70 .

X   ~   U 40 ; 70

E vamos calcular o coeficiente de variação que é o desvio padrão dividido pela média:

c v = σ E X

Passo 2

Pra calcular a média e o desvio padrão de uma distribuição uniforme é só lembrar das fórmulas.

E X = a + b 2 = 40 + 70 2

E X = 55

Passo 3

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância que é:

V a r X = b - a 2 12 = 70 - 40 2 12

V a r X = 75

O desvio padrão vai ser:

σ = 75

Passo 4

Juntar tudo pra ter o coeficiente de variação:

c v = 75 55

c v ≅ 0,157

Resposta

a ≅ 0,157

Exercício Resolvido #2

Seja X uma variável aleatória contínua com densidade Uniforme no intervalo de - θ , + θ .

Em cada caso abaixo calcule " θ " de forma a satisfazer a condição dada.

  1. P X > 1 2 = 1 4
  2. P X < 1 4 = 3 4
  3. P X > 1 2 = 2 . P X < - 1
  4. P X < 1 2 = 2 . P X > 1 4

Passo 1

Estamos tratando de uma v.a. com densidade Uniforme, vamos primeiro recapitular qual a função de densidade da v.a. Uniforme.

f x = 1 b - a   ,                   s e   a ≤ x ≤ b           0   ,                                 c a s o   c o n t r á r i o

Porém, pra calcular as probabilidades, vamos usar a função acumulada FDA, que é:

F x = 0   ,                   s e   x ≤ a x - a b - a   ,                   s e   a ≤ x ≤ b 1   ,                     s e     x ≥ b

Nessa questão, como o intervalo é - θ , + θ , vamos ter que:

a = - θ

b = θ

Aí vamos ter:

F x = x + θ 2 θ

Beleza?

Passo 2

(a)

P X > 1 2 = 1 4

P X > 1 2 = 1 - P X < 1 2

Usando a FDA, é só substituir x = 1 2 .

= 1 - 1 2 + θ 2 θ

Isso tem que ser igual a 1 4 .

1 - 1 2 + θ 2 θ = 1 4

Passo 3

Matemática... mudando as coisas de lado...

1 2 + θ 2 θ = 3 4

1 2 + θ = 3 2 . θ

θ - 3 2 θ = - 1 2

- 1 2 θ = - 1 2

θ = 1

Passo 4

(b)

P X < 1 4 = 3 4

É só aplicar direto a FDA.

P X < 1 4 = 1 4 + θ 2 θ = 3 4

1 4 + θ = 3 2 θ

θ - 3 2 θ = - 1 4

- 1 2 θ = - 1 4

θ = 1 2

Passo 5

(c)

P X > 1 2 = 2 . P X < - 1

Partes por partes...

P X > 1 2 = 1 - P X < 1 2

= 1 - 1 2 + θ 2 θ

E:

P X < - 1 = - 1 + θ 2 θ

Agora é só juntar tudo numa equação e resolver.

Passo 6

P X > 1 2 = 2 . P X < - 1

1 - 1 2 + θ 2 θ = 2 . - 1 + θ 2 θ

Cortando o 2   ali.

1 - 1 2 + θ 2 θ = - 1 + θ θ

Vou multiplicar geral por 2 θ .

2 θ - 1 2 + θ = - 2 + 2 θ

Corta o 2 θ dos dois lados...

- 1 2 - θ = - 2

θ = - 1 2 + 2

θ = 3 2

Passo 7

(d)

P X < 1 2 = 2 . P X > 1 4

Mesma coisa, uma de cada vez.

P X < 1 2 = 1 2 + θ 2 θ

P X > 1 4 = 1 - 1 4 + θ 2 θ

Joga na equação e resolve.

Passo 8

1 2 + θ 2 θ = 2 . 1 - 1 4 + θ 2 θ

1 2 + θ 2 θ = 2 - 1 4 + θ θ

Multiplicar todo mundo por 2 θ de novo.

1 2 + θ = 4 θ - 1 2 + 2 θ

1 2 + θ = 4 θ - 1 2 - 2 θ

1 2 + θ = 2 θ - 1 2

θ = 1

Resposta

a   θ = 1

b   θ = 1 2

c   θ = 3 2

d   θ = 1

Exercício Resolvido #3

A espessura de um semicondutor, está uniformemente distribuída entre 0,2050 μ m e 0,2150 μ m (micrômetros).

  1. Determine a função de distribuição acumulada da espessura do semicondutor.
  2. Determine a proporção de semicondutores que excedem 0,2125 μ m em sua espessura.
  3. Que espessura é excedida por 10% dos semicondutores?

Passo 1

(a)

Sabemos que a espessura está uniformemente distribuída.

X   ~   U 0,2050 ; 0,2150

A gente sabe que a função de distribuição tem a cara:

F x = 0   ,                   s e   x ≤ a x - a b - a   ,                   s e   a ≤ x ≤ b 1   ,                     s e     x ≥ b

Substituindo os valores de a e b :

F x = 0   ,                   s e   x ≤ 0,2050 x - 0,2050 0,01   ,                   s e   0,2050 ≤ x ≤ 0,2150 1   ,                     s e     x ≥ 0,2150

F x = 0       ,                   s e   x ≤ 0,2050 100 x - 20,5   ,                   s e   0,2050 ≤ x ≤ 0,2150 1         ,                     s e     x ≥ 0,2150

Passo 2

Para calcular então   P ( X > 0,2150 ) , basta a gente fazer:

P 0,2125 < X < 0,2150 = 0,2150 - 0,2125 0,01

Esse 0,01 aí é exatamente a amplitude total → 0,2150 - 0,2050 = 0,01 .

= 0,0025 0,01

= 0,25

Passo 3

(c)

Temos que:

P X > k = 0,1

Onde k é a espessura excedida por 10% dos semicondutores.

Resolvendo:

P k < X < 0,2150 = 0,1

0,2150 - k 0,01 = 0,1

0,2150 - k = 0,001

k = 0,2140

Resposta

a   F x = 0       ,                   s e   x ≤ 0,2050 100 x - 20,5   ,                   s e   0,2050 ≤ x ≤ 0,2150 1         ,                     s e     x ≥ 0,2150

b   0,25

c   0,2140

Exercício Resolvido #4

O rótulo de uma lata de coca-cola indica que o conteúdo é de 350   m l . Suponha que a linha de produção encha as latas de forma que o conteúdo seja uniformemente distribuído no intervalo [ 345 , 355 ] .

O controle de qualidade aceita uma lata com conteúdo dentro de 4   m l do conteúdo exibido na lata. Qual é a proporção de latas rejeitadas nessa linha de produção?

Passo 1

O controle de qualidade aceita latas que estejam dentro do intervalo de ( 350 ∓ 4 ) m l , ou seja, [ 346,354 ] .

Para saber a proporção de latas rejeitadas, temos que saber a proporção de latas que o controle de qualidade rejeita, ou seja, a proporção de latas fora desse intervalo. Denotando o conteúdo de uma lata por X :

P s e r   r e j e i t a d a = P X < 346 + P ( X > 354 )

Porque X deve ser menor que 346 m l O U maior que 354 m l , e O U em probabilidade nós somamos duas probabilidades. Vamos calcular cada uma delas então.

Nossa função de densidade é:

f x = 1 b - a ,       s e   a < x < b 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

Onde a = 345 e b = 355 , então:

f x = 1 10 ,       s e   345 < x < 355 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

Passo 2

Então:

P X < 346 = ∫ - ∞ 346 1 10 d x = ∫ 345 346 1 10 d x =   ( 346 - 345 ) 10 = 0,1

E a outra:

P X > 354 = ∫ 354 + ∞ 1 10 d x = ∫ 354 355 1 10 d x = ( 355 - 354 ) 10 = 0,1

E chegamos em:

P s e r   r e j e i t a d a = P X < 346 + P X > 354 = 0,1 + 0,1 = 0,2

Resposta

0,2

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