Distribuição Uniforme

Teoria Completa

Modelo Uniforme Contínuo

Cara, vamos ver uma distribuição contínua muito importante: a distribuição uniforme. A ideia é que no final desse texto você consiga calcular probabilidades, a esperança e a variância nesse novo modelo.

Digamos que Helena é aluna de engenharia química e todos os dias vai de ônibus até sua faculdade. Há somente um ônibus que lhe serve, e ele costuma passar pelo ponto em qualquer instante entre 7 h e 7 h 30 . Se num certo dia Helena chega ao ponto às 7 h 24 , qual a probabilidade de que ela consiga pegar o ônibus?

A primeira coisa que a gente tem que sacar antes de começar a resolver esse problema é que devemos usar algum modelo contínuo, porque o enunciado tá falando que o ônibus pode chegar em qualquer instante entre 7h e 7h30. Beleza?!

Percebe que em qualquer momento desse intervalo, o ônibus tem a mesma probabilidade de chegar?! Isto é, ele pode chegar às 7:15 ou às 7:20, ou às 7:25, ou seja, em qualquer instante desse intervalo com exatamente a mesma probabilidade!

Como é uma variável aleatória contínua não podemos calcular a probabilidade para um valor específico, mas para um intervalo de valores. Lembra que em geral a gente modela o tempo como uma variável contínua?!

A parada é você aprender a aplicar as fórmulas. Acompanha essa fórmula aqui embaixo que depois a gente vai aplicar ela no exemplo:

Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme e contínua no intervalo [ a , b ] , se sua função de densidade f ( x ) é dada por:

f x = 1 b - a   ,                   s e   a ≤ x ≤ b           0   ,                                 c a s o   c o n t r á r i o

Notação: Para indicar que a v.a. X segue esse modelo no intervalo [ a , b ] , escrevemos X   ~   U ( a , b ) .

Então, pra gente calcular probabilidades com essa v.a. a gente tem que integrar no intervalo pedido, certo?

No nosso exemplo, chamamos

X :   i n s t a n t e   d e   c h e g a d a   d o   ô n i b u s   n o   p o n t o   e m   m i n u t o s

Helena chega ao ponto às 7 h 24 . A partir desse momento, qualquer hora

que o ônibus chegar tá valendo...

Vamos tomar 7h como 0 e 7h30 como 30. Aí escrevemos

X   ~   U 0 ,   30

E o que a gente quer calcular é P X > 24 .

P ( X   >   x ) = ∫ x b f ( x ) d x = ∫ x b 1 b - a d x

P ( X   > 24 ) = ∫ 24 30 1 30 - 0 d x

P X > 24 =   x 30 24 30

P X > 24 = 1 - 24 30

P X > 24 =   6 30

P X > 24 = 0,2

Prontinho, descobrimos a probabilidade!

Esperança e Variância

É importante decorar também que para v.a. uniforme:

E X = a + b 2

V a r X = b - a 2 12

No caso que o valor esperado E X sempre será o meio do intervalo.

No nosso exemplo,

E X =   0 + 30 2 = 15

Só lembrando que o 15 representa 7h15, então o valor esperado da chegada do ônibus é 7h15.

Utilizando a fórmula para calcular a V a r X :

V a r X =   30 - 0 2 12 = 75

Função de densidade e FDA

Vamos só ver qual é a cara das nossas funções de densidade e FDA:

A nossa f ( x ) terá essa cara.

Fazendo as integrais necessárias, chegamos a FDA.

F x = 0   ,                   s e   x ≤ a x - a b - a   ,                   s e   a < x ≤ b 1   ,                     s e     x > b

Belezinha?! Vamos praticar pra ficar no sangue??

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ-P1-2014.2.-3A

Por saber que há uma grande procura por imóveis em determinada região muito valorizada, uma construtora decide comprar um terreno e construir uma casa nesse local.

  1. Uma parte dos recursos necessários para isso será obtida através de um financiamento. Especialmente, admita que o percentual do gasto total a ser financiado se comporta como uma variável aleatória com distribuição Uniforme entre 40 % e 70 % . Qual é o coeficiente de variação dessa variável?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a)

Temos uma v.a. que representa o gasto total a ser financiado que segue uma distribuição Uniforme entre 40 e 70 .

X   ~   U 40 ; 70

E vamos calcular o coeficiente de variação que é o desvio padrão dividido pela média:

c v = σ E X

Passo 2

Pra calcular a média e o desvio padrão de uma distribuição uniforme é só lembrar das fórmulas.

E X = a + b 2 = 40 + 70 2

E X = 55

Passo 3

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância que é:

V a r X = b - a 2 12 = 70 - 40 2 12

V a r X = 75

O desvio padrão vai ser:

σ = 75

Passo 4

Juntar tudo pra ter o coeficiente de variação:

c v = 75 55

c v ≅ 0,157

Resposta

a ≅ 0,157

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P2-2013.1-3

Seja X uma variável aleatória contínua com densidade Uniforme no intervalo de - θ , + θ .

Em cada caso abaixo calcule " θ " de forma a satisfazer a condição dada.

  1. P X > 1 2 = 1 4
  2. P X < 1 4 = 3 4
  3. P X > 1 2 = 2 . P X < - 1
  4. P X < 1 2 = 2 . P X > 1 4
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Estamos tratando de uma v.a. com densidade Uniforme, vamos primeiro recapitular qual a função de densidade da v.a. Uniforme.

f x = 1 b - a   ,                   s e   a ≤ x ≤ b           0   ,                                 c a s o   c o n t r á r i o

Porém, pra calcular as probabilidades, vamos usar a função acumulada FDA, que é:

F x = 0   ,                   s e   x ≤ a x - a b - a   ,                   s e   a ≤ x ≤ b 1   ,                     s e     x ≥ b

Nessa questão, como o intervalo é - θ , + θ , vamos ter que:

a = - θ

b = θ

Aí vamos ter:

F x = x + θ 2 θ

Beleza?

Passo 2

(a)

P X > 1 2 = 1 4

P X > 1 2 = 1 - P X < 1 2

Usando a FDA, é só substituir x = 1 2 .

= 1 - 1 2 + θ 2 θ

Isso tem que ser igual a 1 4 .

1 - 1 2 + θ 2 θ = 1 4

Passo 3

Matemática... mudando as coisas de lado...

1 2 + θ 2 θ = 3 4

1 2 + θ = 3 2 . θ

θ - 3 2 θ = - 1 2

- 1 2 θ = - 1 2

θ = 1

Passo 4

(b)

P X < 1 4 = 3 4

É só aplicar direto a FDA.

P X < 1 4 = 1 4 + θ 2 θ = 3 4

1 4 + θ = 3 2 θ

θ - 3 2 θ = - 1 4

- 1 2 θ = - 1 4

θ = 1 2

Passo 5

(c)

P X > 1 2 = 2 . P X < - 1

Partes por partes...

P X > 1 2 = 1 - P X < 1 2

= 1 - 1 2 + θ 2 θ

E:

P X < - 1 = - 1 + θ 2 θ

Agora é só juntar tudo numa equação e resolver.

Passo 6

P X > 1 2 = 2 . P X < - 1

1 - 1 2 + θ 2 θ = 2 . - 1 + θ 2 θ

Cortando o 2   ali.

1 - 1 2 + θ 2 θ = - 1 + θ θ

Vou multiplicar geral por 2 θ .

2 θ - 1 2 + θ = - 2 + 2 θ

Corta o 2 θ dos dois lados...

- 1 2 - θ = - 2

θ = - 1 2 + 2

θ = 3 2

Passo 7

(d)

P X < 1 2 = 2 . P X > 1 4

Mesma coisa, uma de cada vez.

P X < 1 2 = 1 2 + θ 2 θ

P X > 1 4 = 1 - 1 4 + θ 2 θ

Joga na equação e resolve.

Passo 8

1 2 + θ 2 θ = 2 . 1 - 1 4 + θ 2 θ

1 2 + θ 2 θ = 2 - 1 4 + θ θ

Multiplicar todo mundo por 2 θ de novo.

1 2 + θ = 4 θ - 1 2 + 2 θ

1 2 + θ = 4 θ - 1 2 - 2 θ

1 2 + θ = 2 θ - 1 2

θ = 1

Resposta

a   θ = 1

b   θ = 1 2

c   θ = 3 2

d   θ = 1

Exercício Resolvido #3

CEFET-LISTA VA- REGINA-7

A espessura de um semicondutor, está uniformemente distribuída entre 0,2050 μ m e 0,2150 μ m (micrômetros).

  1. Determine a função de distribuição acumulada da espessura do semicondutor.
  2. Determine a proporção de semicondutores que excedem 0,2125 μ m em sua espessura.
  3. Que espessura é excedida por 10% dos semicondutores?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a)

Sabemos que a espessura está uniformemente distribuída.

X   ~   U 0,2050 ; 0,2150

A gente sabe que a função de distribuição tem a cara:

F x = 0   ,                   s e   x ≤ a x - a b - a   ,                   s e   a ≤ x ≤ b 1   ,                     s e     x ≥ b

Substituindo os valores de a e b :

F x = 0   ,                   s e   x ≤ 0,2050 x - 0,2050 0,01   ,                   s e   0,2050 ≤ x ≤ 0,2150 1   ,                     s e     x ≥ 0,2150

F x = 0       ,                   s e   x ≤ 0,2050 100 x - 20,5   ,                   s e   0,2050 ≤ x ≤ 0,2150 1         ,                     s e     x ≥ 0,2150

Passo 2

Para calcular então   P ( X > 0,2150 ) , basta a gente fazer:

P 0,2125 < X < 0,2150 = 0,2150 - 0,2125 0,01

Esse 0,01 aí é exatamente a amplitude total → 0,2150 - 0,2050 = 0,01 .

= 0,0025 0,01

= 0,25

Passo 3

(c)

Temos que:

P X > k = 0,1

Onde k é a espessura excedida por 10% dos semicondutores.

Resolvendo:

P k < X < 0,2150 = 0,1

0,2150 - k 0,01 = 0,1

0,2150 - k = 0,001

k = 0,2140

Resposta

a   F x = 0       ,                   s e   x ≤ 0,2050 100 x - 20,5   ,                   s e   0,2050 ≤ x ≤ 0,2150 1         ,                     s e     x ≥ 0,2150

b   0,25

c   0,2140

Exercício Resolvido #4

UFF – Departamento de Estatística, Apostila profª Ana Maria Lima de Farias

Você está interessado em dar um lance em um leilão de um lote de terra. Você sabe que existe um outro licitante. Pelas regras estabelecidas para este leilão, o lance mais alto acima de R $   100.000,00 será aceito. Suponha que o lance do seu competidor seja uma variável aleatória uniformemente distribuída entre R $   100.000,00 e R $   150.000,00 .

  1. Se você der uma lance de R $   120.000,00 , qual é a probabilidade de você ficar com o lote?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a)

X : v a l o r   d o   l a n c e   d o   c o m p e t i d o r

O enunciado nos diz que:

X ~ U ( 100000 ; 150 000 )

Sabemos que a função de densidade de uma distribuição uniforme é dada por

f x = 1 b - a ,     s e   a < x < b 0 ,       c a s o   c o n t r á r i o

Onde a , b é o nosso intervalo [ 100.000,150.000 ] . Então no nosso caso f ( x ) fica:

f x = 1 50 000 ,     s e   100000 < x < 150 000 0 ,       c a s o   c o n t r á r i o

E a probabilidade pedida é de com um lance de R $ 120000 nós ganharmos do competidor, ou seja, o lance X dele deve ser menor que isso:

P ( X < 120000 )

Podemos calcular essa probabilidade integrando a função de densidade:

P X < 120.000 = ∫ - ∞ 120000 1 50000 d x = ∫ 100000 120000 1 50000 d x = x 50000 100000 120000 = 0,4

Passo 2

Resposta

Exercício Resolvido #5

UFF – Departamento de Estatística, Apostila da profª Ana Maria Lima de Farias

O rótulo de uma lata de coca-cola indica que o conteúdo é de 350   m l . Suponha que a linha de produção encha as latas de forma que o conteúdo seja uniformemente distribuído no intervalo [ 345 , 355 ] .

O controle de qualidade aceita uma lata com conteúdo dentro de 4   m l do conteúdo exibido na lata. Qual é a proporção de latas rejeitadas nessa linha de produção?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O controle de qualidade aceita latas que estejam dentro do intervalo de ( 350 ∓ 4 ) m l , ou seja, [ 346,354 ] .

Para saber a proporção de latas rejeitadas, temos que saber a proporção de latas que o controle de qualidade rejeita, ou seja, a proporção de latas fora desse intervalo. Denotando o conteúdo de uma lata por X :

P s e r   r e j e i t a d a = P X < 346 + P ( X > 354 )

Porque X deve ser menor que 346 m l O U maior que 354 m l , e O U em probabilidade nós somamos duas probabilidades. Vamos calcular cada uma delas então.

Nossa função de densidade é:

f x = 1 b - a ,       s e   a < x < b 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

Onde a = 345 e b = 355 , então:

f x = 1 10 ,       s e   345 < x < 355 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

Passo 2

Então:

P X < 346 = ∫ - ∞ 346 1 10 d x = ∫ 345 346 1 10 d x =   ( 346 - 345 ) 10 = 0,1

E a outra:

P X > 354 = ∫ 354 + ∞ 1 10 d x = ∫ 354 355 1 10 d x = ( 355 - 354 ) 10 = 0,1

E chegamos em:

P s e r   r e j e i t a d a = P X < 346 + P X > 354 = 0,1 + 0,1 = 0,2

Passo 3

Resposta

0,2

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