Exercícios Resolvidos de Produto Escalar

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2019.1, Questão 8

Considere as curvas C 1 e C 2 parametrizadas por r t = e t 2 - t 2 , sen t π ,     t R e r s = s - 1 2 + 1 ,   s ,     s R , respectivamente. O ângulo formado pelos vetores tangentes às curvas C 1   e   C 2 no ponto P = ( 1,1 ) é:

  1. π
  2. π / 3
  3. z e r o
  4. π / 6
  5. π / 2

Passo 1

A dica é: Pediu ângulo entre vetores? A gente já tem que pensar logo na fórmula do produto escalar:

u v = u v cos θ θ = a r c o s u v u v

Então o que a gente precisa é achar u e v , que no caso vão ser os vetores tangentes as curvas no ponto P , e substituir nessa fórmula.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para achar o vetor tangente à curva C 1 no ponto dado, a gente precisa achar t correspondente a P = 1,1 . Para isso, vamos igualar a equação da curva ao P .

r t = 1,1

e t 2 - t 2 , sen t π = 1,1

Ficamos com um sistema:

e t 2 - t 2 = 1

sen t π = 1

Da primeira equação, temos:

t 2 - t 2 = 0 t t - 1 2 = 0

t = 1 2 ,     t = 0

Ih, qual escolher? Só ver qual satisfaz a segunda equação, que é o t = 1 2 .

Passo 3

Com o parâmetro t encontrado, vamos calcular o vetor tangente a r ( t ) :

r t = e t 2 - t 2 , sen t π

r ' t = (   2 t - 1 2 e t 2 - t 2 , π cos t π   )

Passo 4

Vamos achar r ' t para t = 1 2 :

r ' 1 2 = 2 1 2 e 1 2 2 - 1 4 , π cos 1 2 π

r ' 1 2 = 1 e 0 , π 0 = ( 1,0 )

Passo 5

Agora a gente precisa encontrar o parâmetro s para P = 1,1 :

r s = s - 1 2 + 1 ,   s = 1,1

s - 1 2 + 1 = 1

s = 1

Da segunda equação a gente já tem s = 1 .

Passo 6

Calculando r ' s :

r ' s = 2 ( s - 1 ) ,   1

Passo 7

Substituindo s = 1   em r ( s ) :

r ' s = 2 ( s - 1 ) ,   1

r ' 1 = 0 ,   1

Passo 8

Agora tem uma reviravolta. Lembra que falei que a dica era pensar na fórmula do produto escalar sempre quiser achar o ângulo entre vetores? Isso vale para o caso geral.

Mas aqui a gente tem um caso específico: O nossos vetores deram ( 1,0 ) e ( 0,1 ) , não foi?

Geometricamente, o vetor ( 1,0 ) aponta na direção e sentido do eixo x do plano cartesiano e ( 0,1 ) na direção e sentido do eixo y . A gente sabe que esses eixos fazem um ângulo de π 2 entre si. Então essa é a nossa resposta!

Não precisava ter essa sacada na hora da prova. Se usasse a fórmula do produto escalar iria dar o mesmo resultado. Dá uma olhada:

1,0 0,1 = 1 0 + 0 1 = 0

Como o produto escalar deu nulo, eles são perpendiculares.

Então, economizamos umas continhas e nossa resposta é a letra e.

Resposta

Letra e

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