1.

Suponha v → t ≠ 0 para todo t . Faça T → = v → t v t onde v t = v → t . Prove que T → e d T → d t são ortogonais.

Resolução
2.

r t = 2 2 t , 2 2 t - 16 t 2 é a posição de uma partícula no espaço no instante t . Encontre o ângulo entre os vetores aceleração e velocidade no instante t = 0 .

Resolução
3.

As curvas C 1 e C 2 parametrizadas respectivamente por

r 1 t = e t 2 - t 2 , sin ⁡ t π , t ∈ R

r 2 s = s - 1 2 + 1 , s , s ∈ R

Passam pelo ponto P = 1,1 . O ângulo formado pelos vetores tangentes às curvas C 1 e C 2 no ponto P é:

a) π

b) π 2

c) π 4

d) π 8

e) π 3

Resolução
4.

A posição de uma partícula em movimento no espaço no instante t ≥ 0 é

r t = 2,4 s e n t 2 ,   3 - t π

Encontre o primeiro instante em que r ( t ) é ortogonal a ( 1 , - 1,0 ) .

Resolução
5.

O ângulo θ entre o vetor u → = 1,1 , a , onde a ∈ R , e o vetor ortogonal ao plano x + y + z = 1 é π 3 . Então, o maior valor de a é?

Resolução
6.

Considere os seguintes pontos no espaço tridimensional:

A 2,4 , 0 ,     B 0,2 , - 1 ,     C 1,3 , 4 ,     D 1,1 , - 5

(a) Encontre a área do triângulo com vértices A ,   B ,   C .

(b) Mostre que Δ A B C é um triângulo retângulo, com ângulo reto ∠ A .

(c) Verifique se os pontos A , B ,   C e D são coplanares, ou seja, se eles pertencem ao mesmo plano.

Resolução
7.

Considere as curvas C 1 e C 2 parametrizadas por r t = e t 2 - t 2 , sen ⁡ t π ,     t ∈ R e r s = s - 1 2 + 1 ,   s ,     s ∈ R , respectivamente. O ângulo formado pelos vetores tangentes às curvas C 1   e   C 2 no ponto P = ( 1,1 ) é:

  1. π
  2. π / 3
  3. z e r o
  4. π / 6
  5. π / 2
Resolução
8.

Sejam α , ω > 0 . A parametrização

r t = a cos ⁡ ω t ,   a sen ⁡ ω t ,   b ω t

descreve uma hélice. O ângulo θ entre qualquer reta tangente à hélice e o eixo z é constante. Qual o valor de cos ⁡ θ ?

  1. b a 2 + b 2
  2. b a 2 + b 2
  3. a ω a 2 + b 2
  4. a 2 + b 2 ω
  5. a b a 2 + b 2
Resolução
9.

Para as expressões a seguir, onde u , w e v são vetores em R 3 , avalie se: não faz sentido, é um número ou é um vetor. {Aqui a notação u ⋅ w significa produto escalar, u × w significa o produto vetorial e ‖ u ‖ módulo de u }

  1. ‖ u - v × w ‖
  2. u × v ⋅ w
  3. u ⋅ v + u × w
  4. ‖ u × v × w + u ‖
  5. u ⋅ w + w 2 u × v

É correto afirmar que:

  1. (I) Número, (II) Não faz sentido, (III) Não faz sentido, (IV) Número, (V) Número.
  2. (I) Não faz sentido, (II) Número, (III) Não faz sentido, (IV) Número, (V) Número.
  3. (I) Não faz sentido, (II) Número, (III) Vetor, (IV) Número, (V) Vetor.
  4. (I) Não faz sentido, (II) Número, (III) Não faz sentido, (IV) Número, (V) Vetor.
  5. (I) Vetor, (II) Número, (III) Não faz sentido, (IV) Não faz sentido, (V) Vetor.
Resolução
10.

Considere os seguintes pontos no espaço tridimensional:

A 1,2 , 3 ,   B 2,1 , 5 ,   C 3,10,6 e   D 2,11,4 .

a) Encontre a área do triângulo com vértices A, B e C.

b) Mostre que o triângulo ABC é um triângulo retângulo, com ângulo reto A.

c) Mostre que os pontos A, B, C E D são coplanatres, ou seja, pertecem ao mesmo plano.

Resolução

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