Exercícios Resolvidos de Produto Escalar

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Enunciado

Considere os seguintes pontos no espaço tridimensional:

A 2,4 , 0 ,     B 0,2 , - 1 ,     C 1,3 , 4 ,     D 1,1 , - 5

(a) Encontre a área do triângulo com vértices A ,   B ,   C .

(b) Mostre que Δ A B C é um triângulo retângulo, com ângulo reto ∠ A .

(c) Verifique se os pontos A , B ,   C e D são coplanares, ou seja, se eles pertencem ao mesmo plano.

Passo 1

(a) Oláaa! Então, para calcular a área de um triângulo de vértices A , B , C , a gente precisa criar os vetores A B → e A C → , que são vetores que saiem do vértice A e vão na direção dos outros vértices do triângulo.

Vamos começar calculando esses dois vetores. Só fazer a coordenada do ponto final do vetor menos a coordenada do ponto do inicial. Ficam assim:

A B → = B - A = 0,2 , - 1 - 2,4 , 0 = - 2 , - 2 , - 1

A C → = C - A = 1,3 , 4 - 2,4 , 0 = - 1 , - 1,4

Aí para calcular a área desse triângulo a gente pode usar nossos vetores. Como? A área vai ser igual a metade do módulo do produto vetorial entre esses dois vetores. Repara:

A t r i â n g u l o = 1 2 A B → × A C →

Se fosse um paralelogramo em vez de um triângulo, era só tirar esse meio dali, beleza? Mas como a gente tem um triângulo mesmo, vamos seguir e calcular o produto vetorial:

n → = A B → × A C → = i ^ j ^ k ^ - 2 - 2 - 1 - 1 - 1 4 = - 8 - 1 i ^ - - 8 - 1 j ^ + 2 - 2 k ^ = - 9,9 , 0

Aí a área fica:

A t r i â n g u l o = 1 2 - 9 2 + ( 9 ) 2 + 0 2 = 9 2 2

Passo 2

(b) Aqui a gente precisa mostrar que o ângulo no vértice A é reto. Mas repara que a gente tem dois vetores que saiem desse ponto e vão na direção dos outros vértices.

Entãaao, a gente esses vetores estão formando no espaço o ângulo ∠ A . E para provar que o ângulo formado por dois vetores é reto, podemos provar que o produto escalar entre eles é nulo! Assim

A B → ⊥ A C → → A B → ⋅ A C → = 0

Vamos calcular esse produto escalar:

A B → ⋅ A C → = - 2 , - 2 , - 1 ⋅ - 1 , - 1,4

A B → ⋅ A C → = 2 + 2 - 4 = 0

Como o produto escalar é nulo, a gente prova que esse ângulo é reto! Vamos seguir!

Passo 3

(c) Cara, pensa comigo. 3 pontos sempre formam um plano no espaço 3D.

Então o que a gente pode fazer é achar a equação do plano formado pelos 3 pontos que a gente já usou, A , B e C , e ver se D está dentro desse plano. Beleza? Vem comigo!

Aí para achar a equação do plano que passa por esses pontos, a gente precisa usar a fórmulinha:

n → ⋅ x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

Onde n → é um vetor normal ao nosso plano. Repara que a gente calculou ele. Por que? Nossos vetores estavam na direção de dois lados de nosso triângulo. Isso quer dizer que eles estão dentro do plano formado pelos nossos pontos.

Ou seja, a gente tinha dois vetores paralelos ao plano e calculou o produto vetorial entre eles. Isso nos dá um vetor normal a esses dois vetores, e logo, um vetor normal ao plano.

n → = - 9,9 , 0

E x 0 , y 0 , z 0 é um ponto que pertence ao plano. Podemos escolher qualquer um dos nossos 3 pontos. Aí podemos escrever:

x 0 , y 0 , z 0 = A = 2,4 , 0

Nossa fórmulinha fica:

( - 9,9 , 0 ) ⋅ x - 2 , y - 4 , z - 0 = 0

- 9 x + 9 y + 18 - 36 = 0 ∴ - 9 x + 9 y = 18

Passo 4

Agora é ver se o ponto D pertence a esse plano. Como? Para um ponto pertencer a um plano, as coordenadas dele devem satisfazer a equação do plano.

Então tudo que a gente precisa fazer é substituir D 1,1 , - 5 na equação

- 9 x + 9 y = 18

Fica assim:

- 9 ⋅ 1 + 9 ⋅ 1 = 0 ≠ 18

Como esse ponto não satisfaz nossa equação, temos que A , B ,   C e D   não são coplanares ☹.

É isso! Arrasamos!

Resposta

(a) A t r i â n g u l o = 9 2 2

(b) Prova nos passos.

(c) Não são coplanares.