Exercícios Resolvidos de Produto Escalar

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Enunciado

Considere os seguintes pontos no espaço tridimensional:

A 1,2 , 3 ,   B 2,1 , 5 ,   C 3,10,6 e   D 2,11,4 .

a) Encontre a área do triângulo com vértices A, B e C.

b) Mostre que o triângulo ABC é um triângulo retângulo, com ângulo reto A.

c) Mostre que os pontos A, B, C E D são coplanatres, ou seja, pertecem ao mesmo plano.

Passo 1

a) Para calcular a área de um triângulo formado com dois vetores temos uma formulinha que ajuda muito nossa vida!

A = A B → × A C → 2

Aonde A B →   é   o vetor formado entre os pontos A e B e A C → o vetor formado entre os os pontos A e C.

Descobrindo o vetor A B →   fazemos a diferença entre os pontos.

A B → =   B 2,1 , 5 - A 1,2 , 3

A B → = ( 1 ,   - 1 ,   2 )

Agora o vetor A C → .

A C → = C 3,10,6 - A 1,2 , 3

A C → = ( 2 ,   8 ,   3 )

Passo 2

Bom, resolvendo então o produto vetorial da fórmula da área temos:

A B → × A C → = i j k 1 - 1 2 2 8 3

= - 3 i + 4 j + 8 k + 2 k - 16 i - 3 j

= - 19 i + 1 j + 10 k = - 19 ,   1 ,   10

Calculando então o módulo:

A B → × A C → = 19 2 + 1 2 + 10 2 = 462 ≈ 21,5

Passo 3

b) para provarmos que o triângulo tem ângulo reto em A, vamos calular o ângulo entre os vetores A B →   e   A C → . Para isso usamos a formulinha:

c o s θ = A B → ∙ A C → A B → A C →

c o s θ = 1 ,   - 1 ,   2 2 ,   8,3 1 2 + 1 2 + 2 2 2 2 + 8 2 + 3 2

c o s θ = ( 1 × 2 + - 1 × 8 + 2 × 3 6 77

c o s θ = 0 6 77

c o s θ = 0

θ = arccos ⁡ 0 = 90 °

Opa, com isso provamos que o Ângulo no ponto A realmente é reto.

Passo 4

c) para provarmos se os pontos são coplanares, temos também, pra nossa sorte, uma formulinha, hahaha. Se 4 pontos pertencem ao mesmo plano, temos 3 vetores formados por eles também pertencentes ao mesmo plano. São eles os vetores que ligam o ponto A a todos os outros pontos, ou seja, A B →   e   A C → que já conhecemos, e agora A D → .

Vamos então descobrir quem é esse vetor.

A D → = 2,11,4 - 1,2 , 3

A D → = ( 1 ,   9 ,   1 )

Bom, para sabermos então se os pontos pertencem ao mesmo plano, precisamos que a igualdade A D → . A B → × A C → = 0 seja real. Caso esse produto misto seja diferente de zero, sabemos que esses vetores (consequentemente os 4 pontos) não pertencem ao mesmo plano.

Já temos o resultado do produto vetorial A B → × A C →   que é - 19 ,   1 ,   10 . Agora fazemos o produto escalar.

A D → . A B → × A C → = 1 ,   9 ,   1 ∙ - 19 ,   1 ,   10

= - 19 + 9 + 10

= 19 - 19 = 0

A D → . A B → × A C → = 0

Oba! Sabemos então que os pontos são coplanares

Resposta

a )   21,5  

b )   e   c )   c o m p r o v a d o s   n a   r e s o l u ç ã o