Exercícios Resolvidos de Produto Escalar

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2019.1, Questão 1

Para as expressões a seguir, onde u , w e v são vetores em R 3 , avalie se: não faz sentido, é um número ou é um vetor. {Aqui a notação u ⋅ w significa produto escalar, u × w significa o produto vetorial e ‖ u ‖ módulo de u }

  1. ‖ u - v × w ‖
  2. u × v ⋅ w
  3. u ⋅ v + u × w
  4. ‖ u × v × w + u ‖
  5. u ⋅ w + w 2 u × v

É correto afirmar que:

  1. (I) Número, (II) Não faz sentido, (III) Não faz sentido, (IV) Número, (V) Número.
  2. (I) Não faz sentido, (II) Número, (III) Não faz sentido, (IV) Número, (V) Número.
  3. (I) Não faz sentido, (II) Número, (III) Vetor, (IV) Número, (V) Vetor.
  4. (I) Não faz sentido, (II) Número, (III) Não faz sentido, (IV) Número, (V) Vetor.
  5. (I) Vetor, (II) Número, (III) Não faz sentido, (IV) Não faz sentido, (V) Vetor.

Passo 1

Bem, o que a questão quer da gente é basicamente saber como funcionam as operações com vetores, beleza?

O que a gente precisa saber é:

  1. Só podemos tirar o módulo de vetores e isso sempre resulta em um número.
  2. O produto escalar é um produto entre vetores e sempre resulta em um número.
  3. O produto vetorial é um produto entre vetores e sempre resulta em um vetor.
  4. Podemos somar ou subtrair vetores entre si (o que resulta em um vetor) e números entre si (o que resulta em um número), mas não podemos somar ou subtrair vetor com número.
  5. Multiplicação comum é só entre números, ou entre um vetor e um número (resulta num vetor)

Vamos olhar cada item:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Item (I)

Temos: ‖ u - v × w ‖

Percebe que ‖ u ‖ vai dar um número (porque é o módulo de um vetor) e v × w vai dar um vetor (porque é um produto vetorial)? Como a gente não consegue fazer uma subtração entre um número e um vetor, essa operação não faz sentido.

Passo 3

Item (II)

Vamos olhar com carinho para isso aqui: u × v ⋅ w

Temos que u × v vai dar num vetor, não é? Como w também é um vetor, faz sentido fazer o produto escalar entre esses vetores.

Ok, mas aí o que dá? Um vetor ou um número? Se tivermos um produto escalar, sempre teremos um número como resultado.

Passo 4

Item (III)

Agora a gente tem isso: u ⋅ v + u × w

Percebe que ( u ⋅ v ) dá sempre um número e u × w dá sempre um vetor. Como a gente disse lá no começo, não dá para somar um número com vetor. Então essa não faz sentido, tranquilo?

Passo 5

Item (IV) ‖ u × v × w + u ‖

Ih começou a complicar...Nada disso, vamos olhar cada pedacinho que vai dar bom. Olha para u × v , vai dar um vetor, certo?

E aí? Depois, fora dos parênteses, a gente faz o produto vetorial ou a soma primeiro? O produto primeiro! Então a gente vai ficar agora com outro produto vetorial entre dois vetores de novo, o que dá um vetor. Então a gente tem:

v e t o r × w + u = ‖ v e t o r + u ‖

Se a gente somar dois vetores, o resultado dá outro vetor. No final temos um módulo de um vetor, e isso faz sentido e resulta num número.

Passo 6

Item (IV): u ⋅ w + w 2 u × v

Vamos olhar para um dos termos da multiplicação primeiro, o u   x   v , a gente sabe que isso dá um vetor. Beleza.

Agora no outro termo a gente tem o produto escalar u ⋅ w que dá um número e o módulo de w ao quadrado, que também dá um número, porque o módulo de um vetor resulta num número vezes ele mesmo, continua sendo um número.

No final a gente ficou com um vetor vezes um número e isso faz sentido e dá um vetor, beleza?

Então, nossa resposta é a letra d.

Resposta

Letra d

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