Exercícios Resolvidos de Produto Escalar

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 239, exercício 16.

r t = 2 2 t , 2 2 t - 16 t 2 é a posição de uma partícula no espaço no instante t . Encontre o ângulo entre os vetores aceleração e velocidade no instante t = 0 .

Passo 1

Antes de mais nada, precisamos encontrar os vetores velocidade e aceleração e substituir em t = 0 :

Velocidade:

v t = r ' t = 2 2 , 2 2 - 32 t

v 0 = 2 2 , 2 2

Aceleração:

a t = v ' t = ( 0 , - 32 )

a 0 = ( 0 , - 32 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, para descobrir o ângulo precisamos usar a fórmula

c o s θ = v a v a

Então, primeiro vamos calcular esse produto escalar que está no numerador:

v a = 2 2 , 2 2 0 , - 32 = 2 2 0 - 2 2 32 = 0 - 16 2 = - 16 2

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo de cada um dos vetores:

v = 2 2 2 + 2 2 2 = 1

a = 0 2 + - 32 2 = 32

Passo 4

Agora é só substituir:

c o s θ = v . a v a

c o s θ = - 16 2 1.32 = - 2 2

θ = 3 π 4

Resposta

θ = 3 π 4

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