Exercícios Resolvidos de Produto Escalar

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2018.1, Questão E2

Sejam α , ω > 0 . A parametrização

r t = a cos ω t ,   a sen ω t ,   b ω t

descreve uma hélice. O ângulo θ entre qualquer reta tangente à hélice e o eixo z é constante. Qual o valor de cos θ ?

  1. b a 2 + b 2
  2. b a 2 + b 2
  3. a ω a 2 + b 2
  4. a 2 + b 2 ω
  5. a b a 2 + b 2

Passo 1

Vamos começar achando o vetor diretor da reta tangente à hélice.

Então a gente tem uma curva e quer achar um vetor tangente a essa curva. Como que faz isso mesmo??

A gente simplesmente deriva a parametrização da curva

Vamos lá.

r t = a cos ω t ,   a sen ω t ,   b ω t

r ' t = - a ω s en ω t ,   a ω cos ω t ,   b ω

E pronto, temos nosso vetor diretor da reta tangente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora a questão nos diz que esse vetor forma sempre um ângulo constante com o eixo z .

Beleza, mas se pra reta tangente a gente teve que achar um vetor diretor, pra podermos relacionar isso com o eixo z , vamos precisar de um vetor diretor do eixo z também.

Ah, mas vetor diretor de eixo cartesiano é mais tranquilo né?

O vetor que ta na mesma direção do eixo z é o vetor

v = ( 0,0 , 1 )

Passo 3

Agora temos dois vetores e queremos saber o cosseno do ângulo entre eles: vamos usar o produto escalar.

O produto escalar pode ser calculado como:

v r ' ( t ) = v r ' ( t ) c o s θ

Assim,

c o s θ = v r ' t v r ' t

Temos v e temos r ' t , então é só calcular o produto escalar do numerador e o módulo desses vetores pro denominador.

Passo 4

Vamos começar pelo numerador:

v r ' t = 0,0 , 1 - a ω sen ω t ,   a ω cos ω t ,   b ω

v r ' t = 0 . - a ω sen ω t + 0 . (   a ω cos ω t ) + 1 . b ω

v r ' t = b ω

Passo 5

Agora calculando os módulos de cada vetor:

v = ( 0,0 , 1 )

v = 0 2 + 0 2 + 1 2 = 1

r ' t = - a ω sen ω t 2 + (   a ω cos ω t ) 2 + (   b ω ) ²

r ' t = a ² ω ² sen 2 ω t +   a ² ω ² cos 2 ω t + b ² ω 2

Colocando a 2 ω 2 em evidencia:

r ' t = a ² ω ² ( sen 2 ω t +   cos 2 ω t ) + b ² ω 2

r ' t = a ² ω ² + b ² ω 2

Colocando ω ² em evidencia:

r ' t = ω 2 a 2 + b 2

Podemos tirar esse ω ² da raiz e, teoricamente, ele sairia como ω , mas como a questão diz pra gente que ω > 0 :

r ' t = ω a 2 + b 2

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula do passo 3:

c o s θ = v r ' t v r ' t

c o s θ = b ω 1 . ω a 2 + b 2

c o s θ = b a 2 + b 2

Fim!

Resposta

L e t r a   a

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