Exercícios Resolvidos de Produto Escalar

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo, Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, pg.135, exercício 9a.

Suponha v t 0 para todo t . Faça T = v t v t onde v t = v t . Prove que T e d T d t são ortogonais.

Passo 1

Vamos com calma.

Primeiro vamos fazer

v t = ( x t , y t )

v t = v t = x t 2 + y t 2

Até ai tranquilo, né?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos substituir isso em T = v t v t :

T = x t v ( t ) , y t v ( t )

Então,

d T d t = d d t x t v t , d d t y t v t

d T d t = x ' t . v t - x t . v ' t v t 2 , y ' t . v t - y t . v ' t v t 2

Passo 3

Antes de continuarmos, vamos calcular a seguinte derivada:

d v ( t ) d t = v ' t = x t . x ' t x t 2 + y t 2 + y t . y ' t x t 2 + y t 2 = x t . x ' t + y t . y ' t v t

Beleza, já definimos os vetores e a derivada v ' t . Agora vamos para o que interessa: provar que eles são ortogonais.

Sabemos que dois vetores ortogonais tem produto escalar nulo, então vamos ver se isso acontece aqui:

T d T d t = x t v t , y t v t x ' t . v t - x t . v ' t v t 2 , y ' t . v t - y t . v ' t v t 2

T d T d t = x t . x ' t . v t - x t 2 . v ' t v t 3 + y t . y ' t . v t - ( y t ) ² . v ' t v t 3

T d T d t = 1 v t 3 v t x t . x ' t + y t . y ' t - v ' t x t . x ' t + y t . y ' t v t x t 2 + y t 2 v 2 t

T d T d t = 1 v t 3 v t x t . x ' t + y t . y ' t - x t . x ' t + y t . y ' t v t

T d T d t = 1 v t 3 0 = 0

Resposta

T d T d t = 1 v t 3 v t x t . x ' t + y t . y ' t - x t . x ' t + y t . y ' t v t = 0

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