Exercícios Resolvidos de Quadratura Gaussiana

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 314, exercício 12

Deduza a fórmula de integração da forma

- 1 1 f x d x w 0 f - 0.5 + w 1 f 0 + w 2 f 0.5

que integre exatamente polinômios de grau 2 .

Passo 1

Então pra resolver isso vamos usar a mesma lógica lá da teoria quando deduzimos a fórmula da quadratura gaussiana de dois pontos. Como a fórmula deve integrar exatamente polinômios de grau 2 , então nossa aproximação passa a ser uma igualdade nesses casos:

f x = 1

f x = x

f x = x 2

Onde temos:

w 0 1 + w 1 1 + w 2 1 = - 1 1 1 d x = 2

w 0 - 0.5 + w 2 0.5 = - 1 1 x d x = 0

w 0 0.25 + w 2 0.25 = - 1 1 x 2 d x = 2 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Chegamos então no sistema:

w 0 + w 1 + w 2 = 2 - 0.5 w 0 + 0.5 w 2 = 0 0.25 w 0 + 0.25 w 2 = 2 3

Da segunda equação temos que:

w 0 = w 2

Substituindo isso na terceira equação:

0.5 w 0 = 2 3

w 0 = w 2 = 4 3

Substituindo na primeira equação:

8 3 + w 1 = 2

w 1 = - 2 3

Logo, nossa fórmula de integração fica:

- 1 1 f x d x 4 3 f - 0.5 - 2 3 f 0 + 4 3 f 0.5

Resposta

- 1 1 f x d x 4 3 f - 0.5 - 2 3 f 0 + 4 3 f 0.5

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