Teoria Completa
Fórmulas de Newton-Cotes
Até agora nós vimos as fórmulas de Newton-Cotes. Mais especificamente as fórmulas fechadas de Newton-Cotes pois utilizamos os extremos de integração para o cálculo da aproximação.
Vimos como essas fórmulas ficam aproximando-se da função a ser integrada por um polinômio de grau e dando origem as regras do Trapézio e 1/3 de Simpson.
Mas ela tem um problema. A falha das fórmulas de Newton-Cotes está no fato de precisarmos dividir um intervalo em subintervalinhos igualmente espaçados. Mas porque isso é ruim? Bom, imagine que aproximamos a curva abaixo pela regra dos Trapézios:
Toda área branca debaixo da curva ficou de fora da aproximação (T-T).
Claro que nós poderíamos resolver isso dividindo esse intervalo em vários menores, mas essa é uma forma trabalhosa de se resolver e que iria requerer muitos pontos para chegarmos num erro pequeno.
E se pudéssemos aproximar a integral assim:
Percebeu que a área branca debaixo da curva diminuiu bastante?
Ou seja, não usando os pontos extremos da função, mas usando outros pontos quaisquer de forma que a área extra contada (a área acima da curva) anulasse a área que não foi contada (a parte em branco abaixo da curva)!
Continuaríamos usando apenas dois pontos sem precisar dividir várias vezes o intervalo mas obteríamos um erro pequeno da mesma forma! O problema agora é: como escolher esses pontos?
Quadratura Gaussiana
O método da Quadratura Gaussiana escolhe pontos de forma a otimizar a aproximação da integral ao invés de simplesmente escolher alguns pontos igualmente espaçados!
E como ele faz isso? Bom, vamos começar com calma.
Primeiro vamos mostrar como funciona para a integral de uma função no intervalo usando pontos (). Depois vamos ver como funciona para mais pontos e para intervalos genéricos!
Nós vamos aproximar a integral pelo seguinte:
Essa aproximação vai nos dar o valor exato da integral para polinômios de grau menor ou igual a . Nesse caso, onde , a aproximação não deve ter erro para polinômios de grau menor ou igual a . Então vamos encontrar essas funções que podem ser aproximadas sem erro, ou seja:
Substituindo cada uma delas na aproximação:
Acabamos com um sistema de variáveis e equações:
Resolvendo esse sisteminha chegamos em:
O que nos dá a fórmula de aproximação:
Então, tivemos o seguinte passo a passo:
- Identificamos o intervalo de integração () e quantos pontos usaríamos (foram dois pontos, e )
- Usamos a aproximação para a integral:
- Identificamos polinômios que não terão erro quando usarmos o método (que são os polinômios até o grau 3)
- Jogamos na fórmula e resolvemos o sistema
Vamos ver como isso vai ficar para n maiores que 2.
n Maiores
Nós vimos como fica a aproximação para . Para maiores faríamos o mesmo passo a passo.
A diferença é que a cada que acrescentamos aparecem novas variáveis e novas equações. Maaaasss, por outro lado, a cada que acrescentamos, diminuímos o erro do método também, já que vimos que esse método dá o valor exato para polinômios de grau ou menor.
Mas, por sorte alguém já teve esse trabalho e tabelou os valores das constantes e para cada . Ta aqui uma tabela até que é capaz de aproximar a integral de polinômios de grau menor ou igual a sem erro algum:
Observe os valores de , , e nessa tabela
Se você reparar, os valores de , , e que achamos no exemplo anterior são exatamente os primeiros valores dessa tabela hehehehe.
Repare que os sempre vem em pares de sinais diferentes com iguais. Quando temos um número ímpar de o que tiver sem par vai ser um zero.
Vamos ver um exemplo disso aí em ação:
Aproxime usando Quadratura Gaussiana com .
Usando a tabela a gente fica com:
Isso nos dá um erro de aproximadamente . Ou seja, algo em torno de .
Para efeitos de comparação, utilizando a fórmula do limitante do erro para a regra 1/3 de Simpson repetida precisaríamos de intervalos e para a regra dos trapézios repetida seriam necessários intervalos!!!
E usando esse método fizemos a conta em duas linhas com os valores tabelados! O que seria de nós sem Gauss?
Bom, a maioria dos professores é sensato o suficiente para cobrar exercícios desse método na prova apenas com . Pelo menos eu nunca vi ninguém cobrar mais que isso haha.
Ao invés de complicar aumentando o eles normalmente complicam alterando o intervalo de integração para algo diferente de que é o que vamos ver agora.
Intervalos Genéricos de Integração
Agora imagina que você não quer mais integrar no mas quer integrar em um qualquer. Fazemos tudo de novo para o novo intervalo? Claro que não né haha. É só aplicarmos uma mudança marota de variáveis, que vai servir para termos um novo intervalo (spoiler alert: o intervalo será ). Se liga na formuleta:
Assim, temos:
Ou seja, trocamos um que ia de para por um que vai de a , agora tá tudo certo!
Vamos ver um exemplo só pra ficar bem claro?
Calcula aí a integral usando Quadratura Gaussiana com dois pontos.
Primeiro temos que fazer a mudança de variáveis:
O valor exato da integral é e tivemos um erro absoluto de quase . Não foi uma aproximação tão boa, mas devemos levar em consideração que usamos apenas pontos haha. Usando pontos o erro caí para aproximadamente !
Algoritmo
O problema desse método é a necessidade de utilizar a função que muda com o problema. Sendo assim, antes de usá-lo é necessário definir essa função separadamente.
Sempre que a função aparecer aqui no algoritmo vai estar se referindo a função a ser integrada que você já deve ter definido em outra parte do seu programa ok?
Outro problema é que o seu algoritmo deve ter definido nele as constantes e a serem usadas para cada ou deve deduzi-las na hora o que daria um belo trabalho haha. O algoritmo que eu vou apresentar aqui terá apenas os valores tabelados de e mas você pode adicionar os outros.
Passo 1. Dados iniciais (o que seu programa vai receber de você):
- Número de pontos
- Intervalo
Passo 2. Se , vá para o passo 3. Se , vá para o passo 4.
Passo 3. Retornamos o valor:
Passo 4. Retornamos o valor:
Ou seja, nada muito complicado. Você literalmente só precisa escrever a fórmula. Repare que eu joguei direto na fórmula para um intervalo genérico. Você também poderia usar um teste para verificar se o intervalo é ou não igual a e dependendo do resultado usar uma fórmula mais simples. Isso reduziria o custo computacional quando o intervalo fosse .
Exercício Resolvido #1
Deduza a fórmula de integração da forma
que integre exatamente polinômios de grau .
Passo 1
Então pra resolver isso vamos usar a mesma lógica lá da teoria quando deduzimos a fórmula da quadratura gaussiana de dois pontos. Como a fórmula deve integrar exatamente polinômios de grau , então nossa aproximação passa a ser uma igualdade nesses casos:
Onde temos:
Passo 2
Chegamos então no sistema:
Da segunda equação temos que:
Substituindo isso na terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Logo, nossa fórmula de integração fica:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Considere a integral:
Estime por Quadratura Gaussiana com pontos.
Sabendo que o valor exato de (usando casas decimais) é , compare a estimativa dada.
Quantos pontos seriam necessários para que a regra dos Trapézios e 1/3 de Simpson obtivessem essa mesma precisão?
Passo 1
Essa primeira letra não tem mistério nenhum né? Só temos que tomar cuidado que os limites da integral são e não ! Então temos que lembrar da fórmula da mudança de intervalos de integração:
Logo,
Passo 2
Sabendo que o valor exato com casas decimais é podemos encontrar o erro:
Passo 3
Lembram-se das fórmulas do limitante do erro para as regras do Trapézio e 1/3 de Simpson repetidas? Não? Bom, eu não lembro delas então não se sintam mal haha. São essas aqui oh:
Trapézios Repetida:
1/3 de Simpson Repetida:
Agora vamos achar qual o necessário em cada caso. Lembrando que !
Passo 4
Para a regra dos trapézios temos:
Temos que:
E o máximo de em acontece em onde temos . Substituindo na fórmula:
Logo, temos intervalos! O que nos diz que precisaríamos de pelo menos pontos! Muito cuidado com essa relação intervalo-pontos haha. Como a questão pede o número de pontos você tem que somar no número de intervalos!
Passo 5
Para a regra 1/3 de Simpson temos:
Continuando as derivadas:
E o máximo de no intervalo ocorre em e tem como valor . Substituindo:
Nesse caso como precisamos de um número par de intervalos nossa condição fica . Ou seja, precisamos de pontos.
Resposta
pontos para a regra dos Trapézios e pontos para a regra 1/3 de Simpson.
Exercício Resolvido #3
Calcule as integrais abaixo usando Quadratura Gaussiana. Utilize casas decimais.
, com pontos.
, com pontos.
Passo 1
Aqui é só aplicar a fórmula lembrando de fazer a mudança de intervalo de integração:
Passo 2
Lembrando que para pontos temos o seguinte:
Aplicando a fórmula com mudança do intervalo de integração:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Calcular usando Quadratura Gaussiana com dois pontos o valor da integral:
Passo 1
Basta aplicarmos a fórmula lembrando de fazer a mudança de intervalo de integração:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Considere a integral .
Encontre uma aproximação para essa integral por Quadratura Gaussiana com . Calcule o erro percentual cometido.
Repita o item com .
Passo 1
Mudando o intervalo de integração:
Passo 2
Aproximando para :
Calculando o erro:
Passo 3
Aproximando para . Lembre-se que temos, para esse caso,
Então ficamos com: