Quadratura Gaussiana

Teoria Completa

Fórmulas de Newton-Cotes

Até agora nós vimos as fórmulas de Newton-Cotes. Mais especificamente as fórmulas fechadas de Newton-Cotes pois utilizamos os extremos de integração para o cálculo da aproximação.

Vimos como essas fórmulas ficam aproximando-se da função f x a ser integrada por um polinômio de grau 1 e 2 dando origem as regras do Trapézio e 1/3 de Simpson.

Mas ela tem um problema. A falha das fórmulas de Newton-Cotes está no fato de precisarmos dividir um intervalo em subintervalinhos igualmente espaçados. Mas porque isso é ruim? Bom, imagine que aproximamos a curva abaixo pela regra dos Trapézios:

Toda área branca debaixo da curva ficou de fora da aproximação (T-T).

Claro que nós poderíamos resolver isso dividindo esse intervalo em vários menores, mas essa é uma forma trabalhosa de se resolver e que iria requerer muitos pontos para chegarmos num erro pequeno.

E se pudéssemos aproximar a integral assim:

Percebeu que a área branca debaixo da curva diminuiu bastante?

Ou seja, não usando os pontos extremos da função, mas usando outros pontos quaisquer de forma que a área extra contada (a área acima da curva) anulasse a área que não foi contada (a parte em branco abaixo da curva)!

Continuaríamos usando apenas dois pontos sem precisar dividir várias vezes o intervalo mas obteríamos um erro pequeno da mesma forma! O problema agora é: como escolher esses pontos?

Quadratura Gaussiana

O método da Quadratura Gaussiana escolhe pontos de forma a otimizar a aproximação da integral ao invés de simplesmente escolher alguns pontos igualmente espaçados!

E como ele faz isso? Bom, vamos começar com calma.

Primeiro vamos mostrar como funciona para a integral de uma função f x no intervalo - 1,1 usando 2 pontos ( n = 2 ). Depois vamos ver como funciona para mais pontos e para intervalos genéricos!

Nós vamos aproximar a integral pelo seguinte:

∫ - 1 1 f x d x ≈ c 1 f x 1 + c 2 f x 2

Essa aproximação vai nos dar o valor exato da integral para polinômios de grau menor ou igual a 2 n - 1 . Nesse caso, onde n = 2 , a aproximação não deve ter erro para polinômios de grau menor ou igual a 3 . Então vamos encontrar essas funções que podem ser aproximadas sem erro, ou seja:

f x = 1

f x = x

f x = x 2

f x = x 3

Substituindo cada uma delas na aproximação:

c 1 × 1 + c 2 × 1 = ∫ - 1 1 1 d x = 2

c 1 × x 1 + c 2 × x 2 = ∫ - 1 1 x d x = 0

c 1 × x 1 2 + c 2 × x 2 2 = ∫ - 1 1 x 2 d x = 2 3

c 1 × x 1 3 + c 2 × x 2 3 = ∫ - 1 1 x 3 d x = 0

Acabamos com um sistema de 4 variáveis e 4 equações:

Resolvendo esse sisteminha chegamos em:

c 1 = 1 ; c 2 = 1

x 1 = - 3 3 ≈ - 0,5773502692 ; x 2 = 3 3 ≈ 0,5773502692

O que nos dá a fórmula de aproximação:

∫ - 1 1 f x d x ≈ f - 3 3 + f 3 3

Então, tivemos o seguinte passo a passo:

  • Identificamos o intervalo de integração ( [ - 1,1 ] ) e quantos pontos usaríamos (foram dois pontos, x 1 e x 2 )
  • Usamos a aproximação para a integral: ∫ - 1 1 f x d x ≈ c 1 f x 1 + c 2 f x 2
  • Identificamos polinômios que não terão erro quando usarmos o método (que são os polinômios até o grau 3)
  • Jogamos na fórmula e resolvemos o sistema

Vamos ver como isso vai ficar para n maiores que 2.

n Maiores

Nós vimos como fica a aproximação para n = 2 . Para n maiores faríamos o mesmo passo a passo.

A diferença é que a cada n que acrescentamos aparecem 2 novas variáveis e 2 novas equações. Maaaasss, por outro lado, a cada n que acrescentamos, diminuímos o erro do método também, já que vimos que esse método dá o valor exato para polinômios de grau 2 n - 1 ou menor.

Mas, por sorte alguém já teve esse trabalho e tabelou os valores das constantes c i e x i para cada n . Ta aqui uma tabela até n = 5 que é capaz de aproximar a integral de polinômios de grau menor ou igual a 9 sem erro algum:

Observe os valores de x 1 , x 2 , c 1 e c 2 nessa tabela

Se você reparar, os valores de x 1 , x 2 , c 1 e c 2 que achamos no exemplo anterior são exatamente os primeiros valores dessa tabela hehehehe.

Repare que os x i sempre vem em pares de sinais diferentes com c i iguais. Quando temos um número ímpar de x i o que tiver sem par vai ser um zero.

Vamos ver um exemplo disso aí em ação:

Aproxime ∫ - 1 1 e - x s i n s i n   x   d x usando Quadratura Gaussiana com n = 3 .

Usando a tabela a gente fica com:

∫ - 1 1 e - x s i n s i n   x   d x   ≈   0 . 5 _ e - 0.7745966692 s i n s i n   0.7745966692   + 0 . 8 _ s i n s i n   0   + 0 . 5 _ e 0.7745966692 s i n s i n   - 0.7745966692   = - 0.664001

Isso nos dá um erro de aproximadamente 0.000507 . Ou seja, algo em torno de 0.5 × 10 - 3 .

Para efeitos de comparação, utilizando a fórmula do limitante do erro para a regra 1/3 de Simpson repetida precisaríamos de 8 intervalos e para a regra dos trapézios repetida seriam necessários 64 intervalos!!!

E usando esse método fizemos a conta em duas linhas com os valores tabelados! O que seria de nós sem Gauss?

Bom, a maioria dos professores é sensato o suficiente para cobrar exercícios desse método na prova apenas com n = 2 . Pelo menos eu nunca vi ninguém cobrar mais que isso haha.

Ao invés de complicar aumentando o n eles normalmente complicam alterando o intervalo de integração para algo diferente de - 1,1 que é o que vamos ver agora.

Intervalos Genéricos de Integração

Agora imagina que você não quer mais integrar no - 1,1 mas quer integrar em um a , b qualquer. Fazemos tudo de novo para o novo intervalo? Claro que não né haha. É só aplicarmos uma mudança marota de variáveis, que vai servir para termos um novo intervalo (spoiler alert: o intervalo será - 1 ,   1 ). Se liga na formuleta:

x = 1 2 b - a t + a + b

d x = b - a 2 d t

Assim, temos:

∫ a b f x d x = ∫ - 1 1 f 1 2 b - a t + a + b b - a 2 d t

Ou seja, trocamos um x que ia de a para b por um t que vai de - 1 a 1 , agora tá tudo certo!

Vamos ver um exemplo só pra ficar bem claro?

Calcula aí a integral ∫ 5 10 e x d x usando Quadratura Gaussiana com dois pontos.

Primeiro temos que fazer a mudança de variáveis:

x = 1 2 10 - 5 t + 10 + 5 = 5 t + 15 2

d x = 10 - 5 2 = 5 2 d t

∫ 5 10 e x d x = ∫ - 1 1 e 5 t + 15 2 5 2 d t

∫ - 1 1 e 5 t + 15 2 5 2 d t   = 5 2 e 5 3 3 + 15 2 + 5 2 e - 5 3 3 + 15 2 = 20209.83207

O valor exato da integral é 21878 e tivemos um erro absoluto de quase 1700 . Não foi uma aproximação tão boa, mas devemos levar em consideração que usamos apenas 2 pontos haha. Usando 3 pontos o erro caí para aproximadamente 80 !

Algoritmo

O problema desse método é a necessidade de utilizar a função f x que muda com o problema. Sendo assim, antes de usá-lo é necessário definir essa função separadamente.

Sempre que a função f x aparecer aqui no algoritmo vai estar se referindo a função a ser integrada que você já deve ter definido em outra parte do seu programa ok?

Outro problema é que o seu algoritmo deve ter definido nele as constantes x i e c i a serem usadas para cada n ou deve deduzi-las na hora o que daria um belo trabalho haha. O algoritmo que eu vou apresentar aqui terá apenas os valores tabelados de n = 2 e n = 3 mas você pode adicionar os outros.

Passo 1. Dados iniciais (o que seu programa vai receber de você):

  1. Número de pontos n
  2. Intervalo a , b

Passo 2. Se n = 2 , vá para o passo 3. Se n = 3 , vá para o passo 4.

Passo 3. Retornamos o valor:

b - a 2 f 0.5773502692 b - a + a + b 2 + f - 0.5773502692 b - a + a + b 2

Passo 4. Retornamos o valor:

b - a 2 0.5555555556 ∙ f 0.7745966692 b - a + a + b 2 + 0.5555555556 ∙ f - 0.7745966692 b - a + a + b 2 + 0.8888888889 ∙ f a + b 2

Ou seja, nada muito complicado. Você literalmente só precisa escrever a fórmula. Repare que eu joguei direto na fórmula para um intervalo genérico. Você também poderia usar um teste para verificar se o intervalo é ou não igual a - 1,1 e dependendo do resultado usar uma fórmula mais simples. Isso reduziria o custo computacional quando o intervalo fosse - 1,1 .

Expandir

Exercício Resolvido #1

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 314, exercício 12

Deduza a fórmula de integração da forma

∫ - 1 1 f x d x ≈ w 0 f - 0.5 + w 1 f 0 + w 2 f 0.5

que integre exatamente polinômios de grau ≤ 2 .

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Passo 1

Então pra resolver isso vamos usar a mesma lógica lá da teoria quando deduzimos a fórmula da quadratura gaussiana de dois pontos. Como a fórmula deve integrar exatamente polinômios de grau ≤ 2 , então nossa aproximação passa a ser uma igualdade nesses casos:

f x = 1

f x = x

f x = x 2

Onde temos:

w 0 ∙ 1 + w 1 ∙ 1 + w 2 ∙ 1 = ∫ - 1 1 1 d x = 2

w 0 - 0.5 + w 2 0.5 = ∫ - 1 1 x d x = 0

w 0 0.25 + w 2 0.25 = ∫ - 1 1 x 2 d x = 2 3

Passo 2

Chegamos então no sistema:

w 0 + w 1 + w 2 = 2 - 0.5 w 0 + 0.5 w 2 = 0 0.25 w 0 + 0.25 w 2 = 2 3

Da segunda equação temos que:

w 0 = w 2

Substituindo isso na terceira equação:

0.5 w 0 = 2 3

w 0 = w 2 = 4 3

Substituindo na primeira equação:

8 3 + w 1 = 2

w 1 = - 2 3

Logo, nossa fórmula de integração fica:

∫ - 1 1 f x d x ≈ 4 3 f - 0.5 - 2 3 f 0 + 4 3 f 0.5

Resposta

∫ - 1 1 f x d x ≈ 4 3 f - 0.5 - 2 3 f 0 + 4 3 f 0.5

Exercício Resolvido #2

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 315, exercício 17 adaptado

Considere a integral:

I = ∫ 0 1 e - x 2 d x

a Estime I por Quadratura Gaussiana com 2 pontos.

b Sabendo que o valor exato de I (usando 5 casas decimais) é 0.74682 , compare a estimativa dada.

c Quantos pontos seriam necessários para que a regra dos Trapézios e 1/3 de Simpson obtivessem essa mesma precisão?

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Passo 1

a Essa primeira letra não tem mistério nenhum né? Só temos que tomar cuidado que os limites da integral são 0,1 e não - 1,1 ! Então temos que lembrar da fórmula da mudança de intervalos de integração:

x = 1 2 b - a t + a + b  

d x = b - a 2 d t

Logo,

I = ∫ 0 1 e - x 2 d x = 1 2 ∫ - 1 1 exp ⁡ - t + 1 2 2 d t ≈ 1 2 exp ⁡ - - 3 3 + 1 2 2 + exp ⁡ - 3 3 + 1 2 2

I ≈ 0.74659

Passo 2

b Sabendo que o valor exato com 5 casas decimais é 0.74682 podemos encontrar o erro:

E A = 0.74659 - 0.74682 = 0.00023

Passo 3

c Lembram-se das fórmulas do limitante do erro para as regras do Trapézio e 1/3 de Simpson repetidas? Não? Bom, eu não lembro delas então não se sintam mal haha. São essas aqui oh:

Trapézios Repetida:

E ≤ n h 3 12 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f ' ' x

1/3 de Simpson Repetida:

E ≤ n h 5 180 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f i v x

Agora vamos achar qual o n necessário em cada caso. Lembrando que h = b - a n = 1 - 0 n !

Passo 4

Para a regra dos trapézios temos:

1 3 12 n 2 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f ' ' x ≤ 0.00023

Temos que:

f x = e - x 2

f ' x = - 2 x e - x 2

f ' ' x = e - x 2 4 x 2 - 2

E o máximo de f ' ' x em 0,1 acontece em x = 1 onde temos f ' ' x = 0,73576 . Substituindo na fórmula:

1 3 12 n 2 ∙ 0,73576 ≤ 0.00023

n 2 ≥ 266,58

n ≥ 1 6 , 33

Logo, temos n ≥ 1 7 intervalos! O que nos diz que precisaríamos de pelo menos 1 8 pontos! Muito cuidado com essa relação intervalo-pontos haha. Como a questão pede o número de pontos você tem que somar 1 no número de intervalos!

Passo 5

Para a regra 1/3 de Simpson temos: 1 5 180 n 4 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f i v x ≤ 0.00023  

Continuando as derivadas:

f 3 x = - 4 x 2 x 2 - 3 e - x 2

f 4 x = 4 4 x 4 - 12 x 2 + 3 e - x 2

E o máximo de f 4 x no intervalo 0,1 ocorre em x = 0 e tem como valor f 4 x = 12 . Substituindo:

1 5 180 n 4 ∙ 12 ≤ 0.00023

n 4 ≥ 289.86

n ≥ 4.13

Nesse caso como precisamos de um número par de intervalos nossa condição fica n ≥ 6 . Ou seja, precisamos de 7 pontos.

Resposta

a I ≈ 0.74659

b E A = 0.00023

c 1 8 pontos para a regra dos Trapézios e 7 pontos para a regra 1/3 de Simpson.

Exercício Resolvido #3

Lista 8 – UNICAMP – Exercício 11

Calcule as integrais abaixo usando Quadratura Gaussiana. Utilize 5 casas decimais.

a ∫ 1 4 x d x , com 2 pontos.

b ∫ 0 1 sin ⁡ x x d x , com 3 pontos.

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Passo 1

a Aqui é só aplicar a fórmula lembrando de fazer a mudança de intervalo de integração:

x = 1 2 3 t + 4 + 1 = 3 t + 5 2

d x = 3 2 d t

∫ 1 4 x d x = 3 2 ∫ - 1 1 3 t + 5 2 d t ≈ 3 2 3 - 3 3 + 5 2 + 3 3 3 + 5 2 = 4.66941

Passo 2

b Lembrando que para 3 pontos temos o seguinte:

x 0 = 0.77460

c 0 = 0.55556

x 1 = 0.0000

c 1 = 0.88889

x 2 = - 0.77460

c 2 = 0.55556

Aplicando a fórmula com mudança do intervalo de integração:

x = 1 2 t + 1 + 0 = t + 1 2

d x = 1 2 d t

∫ 0 1 sin ⁡ x x d x = 1 2 ∫ - 1 1 sin ⁡ t + 1 2 t + 1 2 ≈ 1 2 0.55556 sin ⁡ 0.77460 + 1 2 0.77460 + 1 2 + 0.88889 sin ⁡ 0 + 1 2 0 + 1 2 + 0.55556 sin ⁡ - 0.77460 + 1 2 - 0.77460 + 1 2 = 0.94609

Resposta

a 4.66941

b 0.94609

Exercício Resolvido #4

Lista 6 – Professora Angela – UFRJ – Exercício 6

Calcular usando Quadratura Gaussiana com dois pontos o valor da integral:

∫ - 2 2 e - x 2 2 d x

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Passo 1

Basta aplicarmos a fórmula lembrando de fazer a mudança de intervalo de integração:

x = 1 2 4 t + 2 - 2 = 2 t

d x = 4 2 d t = 2 d t

∫ - 2 2 e - x 2 2 d x = 2 ∫ - 1 1 exp ⁡ - 2 t 2 d t ≈ 2 exp ⁡ - 2 - 3 3 2 + exp ⁡ - 2 3 3 2 = 2.05367

Resposta

2.05367

Exercício Resolvido #5

Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 233, exemplo 2 adaptado

Considere a integral ∫ 1 3 x 6 - x 2 sin ⁡ 2 x d x = 317.3442466 .

a Encontre uma aproximação para essa integral por Quadratura Gaussiana com n = 2 . Calcule o erro percentual cometido.

b Repita o item a com n = 3 .

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Passo 1

Mudando o intervalo de integração:

x = 1 2 2 t + 3 + 1 = t + 2

d x = d t

∫ 1 3 x 6 - x 2 sin ⁡ 2 x d x = ∫ - 1 1 t + 2 6 - t + 2 2 sin ⁡ 2 t + 4 d t

Passo 2

a Aproximando para n = 2 :

∫ 1 3 x 6 - x 2 sin ⁡ 2 x d x ≈ - 3 3 + 2 6 - - 3 3 + 2 2 sin ⁡ 2 - 3 3 + 4 + 3 3 + 2 6 - 3 3 + 2 2 sin ⁡ 2 3 3 + 4 = 306.8199345

Calculando o erro:

E R = 306.8199345 - 317.3442466 317.3442466 × 100 = 3.32 %

Passo 3

b Aproximando para n = 3 . Lembre-se que temos, para esse caso,

x 0 = 0.77460

c 0 = 0.55556

x 1 = 0.0000

c 1 = 0.88889

x 2 = - 0.77460

c 2 = 0.55556

Então ficamos com:

∫ 1 3 x 6 - x 2 sin ⁡ 2 x d x ≈ 0.55556 0.77460 + 2 6 - 0.77460 + 2 2 sin ⁡ 2 0.77460 + 4 + 0.88889 0 + 2 6 - 0 + 2 2 sin ⁡ 2 0 + 4 + 0.55556 - 0.77460 + 2 6 - - 0.77460 + 2 2 sin ⁡ 2 - 0.77460 + 4 = 317.2680670