Enunciado

As funções de onda normalizadas para uma partícula confinada a se mover num circulo são: ψ ϕ = 1 2 π 1 2 e - i m ϕ , onde m = 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 , …   ,   e 0 ≤ ϕ ≤ 2 π . Determine ϕ .

Passo 1

Faaalaaaee jooveem!! Chega mais, bora de mais uma resoluçãozinha marota juntinho do RA! BOOraa!!

Sim... esse exercício está literalmente falando grego! É, a vida do jovem de exatas tem dessas de vez em quando!

Mas vamo com muita carma que a gente chega lá!

Seguinte, o que o exercício pede basicamente é o ângulo ϕ que vai representar pra gente como se fosse o período de uma função periódica(Seno, cosseno, etc..)

lembra? Quando a gente representava as marcações em 0, π 2 ,   π .... até onde quisermos...

É mais ou menos isso que temos aqui... uma função que para uma determinada posição que vai de 0 ≤ ϕ ≤ 2 π , ela assumirá valores para a função de onda.

Mas aqui, esse cara é chamado de operador, e o exercício quer que encontremos o valor esperado para esse operador; podemos obter isso da seguinte forma:

ϕ = ∫ ψ * ψ   ϕ   d τ

Passo 2

Vamos ter o seguinte,

ϕ = ∫ 0 2 π   e i m ϕ 2 π e - i m ϕ 2 π   ϕ   d ϕ

Parece o fim do mundo... mas repara que esses termos todos somem...

e - x e x = e 0 = 1

É exatamente essa situação que temos ali..

Ficará assim então:

ϕ = 1 2 π ∫ 0 2 π ϕ   d ϕ

Passo 3

Agora, mais fácil que isso impossível né?!

Bora resolver essa integralzinha:

ϕ = 1 2 π ϕ 2 2 0 2 π

Teremos:

ϕ = 1 4 π 4 π 2 = π

Traanquilidade demais!!

É só riscar e partir pra próxima!! Te vejo lá!!

Resposta

Portanto:

ϕ = π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

24 – Verifique que a função Y3, +3 está normalizada. (A integração se faz sobre a superfície de uma esfera.)
20 – Estime a componente z do momento angular e a energia cinética de uma partícula num anel quando a função de onda (não-normalizada) é A) e i ϕ B) e - 2 i ϕ C) c o s ⁡ ( ϕ ) D) e i ϕ cos ⁡ χ + e - i
21 – Um orbital hibrido sp2 que está no plano xy e faz um ângulo de 120° com o eixo dos x tem a forma ψ = 1 3 0,5 s - I 2 0,5 p x + 3 0,5 2 0,5 p y Use os orbitais atômicos hidrogenóides para ter a fó
7 – Uma partícula num estado descrito pela função de onda ψ x = 2 a π 0,25 e - a x 2 Onde, a é uma constante e - ∞ ≤ x ≤ ∞ Verifique se o valor do produto ΔpΔq é consistente com o que é previsto pelo
10 – Considere o espaço unidimensional no qual uma partícula pode experimentar um de três potenciais, mostrados a seguir, que dependem de sua posição. Eles são: V = 0 ;- ∞x ≤ 0 V = V 2 ;0x ≤ L V = V 3