Equações de Gases Reais

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Teoria

Agora que já sabemos tudo sobre gases ideais… É chegada a hora! O grande momento! Entender mais sobre as equações dos gases reais…

Pode deixar! Nesse momento você terá a melhor definição de um gás real da sua vida!

Gases reais são aqueles que não as obedecem exatamente a lei dos gases ideais…

Por mais estranho que pareça, é exatamente isso! Existem limitações nos modelos de gases ideais, principalmente quando estamos trabalhando em altas pressões ou baixas temperaturas. O que acontece é que nessas condições vão existir forças intermoleculares de atração e repulsão, que farão o gás se expandir ou comprimir.

Mas nós podemos calcular esse desvio da idealidade de um gás, ele pode ser medido pelo afastamento do volume verdadeiro em relação ao previsto… Esse cara aí é o que chamamos de fator de compressibilidade ( Z ) . Matematicamente podemos definir assim:

Z = V V i d e a l

E através dessa definição podemos chegar lá na nossa velha conhecida: a lei dos gases ideais, mas agora adaptada para os gases reais!

Z = p   .   V n   .   R   .   T

Nessa definição de fator de compressibilidade, fica bem tranquilo perceber que o Z de um gás ideal é sempre igual a 1, né?

Mas não parou por aí, ao longo do tempo diversos pesquisadores fizeram correlações para gases reais… A mais famosa dela é a Equação de Van Der Waals, através de observações experimentais ele propôs o seguinte:

p = n   .   R   .   T V - n   .   b - a .   n V 2

Ela pode ser apresenta de diferentes maneiras, mas todas querem dizer a mesma coisa, ok?

Dá só uma olhada:

p = R   .   T V m - b - a V m 2 ou p + a V m 2   .   V m - b = R T

Tranquilo? Mas e essas constantes aí? a , tem b … Como que a gente acha isso?

Relaxa o coração! Essas constantes são tabeladas para cada tipo de gás… Tio Van Der Waals arrasou!

Mas mesmo assim, a equação desenvolvida por ele, não é suficiente para todos os casos… Para temperaturas logo acima da temperatura crítica do gás o erro da equação de van de Waals aumenta… E é por isso a importância da gente ter outras equações para usar.

Vamos ver uma das mais utilizadas também, a equação de Virial. Ela usa ainda mais parâmetros, olha só:

p   .   V = n   .   R   .   T   .   1 + B V m + C V m ² + D V m ³ + . . .

Os coeficientes do virial são encontrados ajustando dados experimentais à equação. Ela é muito mais geral do que a de van der Waals, masss é mais difícil de ser usada, beleza?

Além dela vamos ver algumas outras equações que podemos usar quando trabalhamos com gases reais, show?

Temos a equação de Dieterici, que em 1899, propôs o seguinte:

p = n   .   R   .   T V - n   .   b .   e x p - n   .   a V   .   R   .   T

Seus parâmetros, a e b , também são tabelados e não dependem da temperatura, nem do volume.

Ainda temos a equação de Berthelot, que propôs:

p = n   .   R   .   T V - n   .   b - n ²   .   a T   .   V ²

Ela também possui a e b independentes da temperatura e do volume e tabelados, tranquilo?

Então vamos ver mais uma: a equação de Keyes, que em 1914, disse que podemos usar a seguinte relação:

p = n   .   R   .   T V - n   .   δ - n ²   .   A V + n   .   l 2

A relação dele tem mais parâmetros, esse δ nós podemos achar assim:

δ = β   .   e - n   .   α / V

As outras constantes não dependem da temperatura e volume e tem seus valores tabelados.

Temos ainda a equação de Redlich-Kwong que mostra pra gente a relação desse jeitinho aqui:

p = n   .   R   .   T V - n   .   b - n ²   .   a T   .   V   .   V + n   .   b

Ela também possui a e b independentes da temperatura e do volume e tabelados!

Agora vamos para a última relação! A equação de Beattie-Bridgeman, que propôs, em 1927, o seguinte:

p = n   .   R   .   T   .   1 - ϵ V ²   .   V + n   .   B - n 2   .   A V 2

Podemos encontrar as constantes:

A = A 0   .   1 - n   .   a V B = B 0   .   1 - n   .   b V ϵ = n   .   c V   .   T 3

Já os valores de a , b , c , A 0 e B 0 são tabelados e independentes de T e V .

Show de bolinhas?

Depois dessa explosão de equações só uns exercícios para nos fazer relaxar, né?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

O fator de compressibilidade para o C O 2 a 0 ° C e 100   a t m de pressão é 0,2007 . Calcule o volume ocupado por 0,1   m o l do gás nestas condições tanto pela lei dos gases ideais quanto fazendo uso do fator de compressibilidade. Pode-se dizer que, nas condições do problema, o C O 2 comporta-se como um gás ideal?

Passo 1

Fala aí! Vamos arrasar nessa questão!

Antes de tudo, é sempre bom anotar os dados que o exercício nos deu, beleza?

T = 0 ° C P = 100   a t m Z = 0,2007 n = 0,1   m o l

Precisamos calcular o volume nas duas condições… Primeiro usando a equação dos gases ideais e depois usando o fator de compressibilidade… Aí pra fechar analisamos nossos resultados, ok?

Vamos nessa!

Passo 2

A nossa equação para gases ideais é o famoso:

p   .   V = n   .   R   .   T

V = n   .   R   .   T p

Vamos usar como nossa constante dos gases o R = 0,082   a t m   .   L / m o l   .   K , para isso precisaremos ajustar nossa temperatura passando para Kelvin, show?

V = 0,1   .   0,082   .   273 100

V = 0,0224   L

Uhul! Vamos seguir!

Passo 3

Agora vamos utilizar a equação que contém o fator de compressibilidade ( Z ), ok?

Z = p   .   V n   .   R   .   T

V = Z   .   n   .   R   .   T p

V = 0,2007   .   0,1   .   0,082   .   273 100

V = 0,0045   L

Conseguimos! Vamos analisar esses dois resultados… Bem, eles são muito diferentes, né?

Temos que lembrar que uma característica do gás ideal é que seu fator de compressibilidade é Z = 1 , então de cara daria pra gente verificar que o C O 2 não se comporta como um gás ideal, beleza pura?

Resposta

Considerando como um gás ideal: V = 0,0224   L

Usando o fator de compressibilidade: V = 0,0045   L

O C O 2 não se comporta como um gás ideal.

Exercício Resolvido #2

Uma bolha de diâmetro 1   c m no fundo de um lago onde a temperatura é de 5 ° C e a pressão é de 3   a t m , sobe à superfície, passando a uma temperatura de 25 ° C e 1   a t m de pressão. Qual será o novo diâmetro da bolha? Suponha que há apenas ar dentro da bolha e que este possa ser tratado como gás ideal.

Passo 1

Fala aí! Vamos fortalecer nossos conhecimentos com essa questão!

Antes de tudo, vamos anotar os dados que o exercício nos deu:

D 1 = 1   c m T 1 = 5 ° C P 1 = 3   a t m

T 2 = 25 ° C P 2 = 1   a t m

O enunciado disse que podemos considerar um gás ideal, beleza?

Precisamos então calcular o novo volume e podemos usar a nossa equação dos gases ideais… Vamos nessa!

Passo 2

A nossa equação para gases ideais é o famoso:

p   .   V = n   .   R   .   T

Mas tá faltando alguém aí, hein? Não temos o número de mols!

Será que dá pra encontrar com os valores que foram dados enquanto a nossa bolha ainda estava no fundo do lago?

Isso mesmo! Vamos fazer isso!

E com o diâmetro podemos achar o volume da bolha, que é uma esfera, beleza?

V = 4 3   .   π   .   r 3

V = 4 3   .   π   .   D 2 3

V = 4 3   .   π   .   0,01 2 3

V = 0,523   .   10 - 6   m ³

ou

V = 0,523   .   10 - 3   L

Vamos usar como nossa constante dos gases o R = 0,082   a t m   .   L / m o l   .   K , para isso precisaremos ajustar nossa temperatura passando para Kelvin, ok?

n = p   .   V R   .   T

n = 3   .   0,523   .   10 - 3 0,082   .   278

n = 68,83   .   10 - 6   m o l

Vamos seguir!

Passo 3

Agora vamos utilizar a mesma equação mas para as condições da subida da bolha, ok?

V =   n   .   R   .   T p

V =   68,83   .   10 - 6   .   0,082   .   298 1

V = 0,00168   L

ou

V = 1,68   .   10 - 6   m ³

Agora é só fazer a fórmula de volume da esfera invertida e encontrar o diâmetro, tranquilo?

V = 4 3   .   π   .   D 2 3

1,68   .   10 - 6 = 4 3   .   π   .   D 2 3

D 2 3 = 0,401   .   10 - 6

D 3 = 2 ³   .   0,401   .   10 - 6

D = 0,0147   m

ou

D = 1,47   c m

Conseguimos! O diâmetro da nossa bolha aumento!

Show de bola!

Resposta

D = 1,47   c m

Exercício Resolvido #3

Calcule a pressão que o C C l 4 exercerá a 40 ° C se 1,00   m o l ocupa 28,0   L , supondo que:

  1. o C C l 4 obedece à equação do gás ideal;
  2. o C C l 4 obedece à equação de van der Waals. (Os valores para as constantes são dados na Tabela 1).

Dados da tabela: a = 20,4   L ² . a t m / m o l ² e b = 0,1383   L / m o l .

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver essa questão juntos? Partiu!

Temos que resolver essa questão de duas maneiras diferentes, primeiro utilizando a equação do gás ideal… E depois com a equação de Van Der Waals, show?

Usaremos a constante dos gases como sendo: R = 0,082   a t m . L / m o l . K

Vamos nessa!

Passo 2

Na letra a, vamos usar nossa equação famosa equação:

p   .   V = n   .   R   .   T

p = n   .   R   .   T V

p = 1   .   0,082   .   313 28

p = 0,917   a t m

Vamos seguir e calcular agora com a equação de Van Der Waals!

Passo 3

Vamos nessa, teremos o seguinte:

p = n   .   R   .   T V - n   .   b - a .   n V 2

p = 1   .   0,082   .   313 28 - 1   .   0,1383 - 20,4   .     1 28 2

p = 0,921 - 0,026

p = 0,895   a t m

Show de bola! Olha que interessante… Nossas pressões ficaram muito parecidas, isso significa que o C C l 4 tem um comportamento semelhante a um gás ideal!

Beleza!

Resposta

  1. p = 0,917   a t m
  2. p = 0,895   a t m

Exercício Resolvido #4

Um tanque de 10,0   L contendo 25   m o l de O 2 é armazenado em uma loja de artigos de mergulho a 25 ° C . Use os dados da Tabela e a equação de Van Der Waals para calcular a pressão no tanque.

Dados retirados da tabela: a = 1,36   L ² . a t m / m o l ² e b = 0,0318   L / m o l .

Passo 1

Fala aí! Vamos fortalecer nossos conhecimentos com essa questão!

Antes de tudo, vamos anotar os dados que o exercício nos deu:

V = 10   L T = 25 ° C   → 298   K n = 25   m o l

O enunciado disse para a gente usar a equação de Van Der Waals para encontrar a pressão…

Usaremos o R = 0,082   a t m . L / m o l . K , show?

Vamos nessa!

Passo 2

A equação tem essa carinha aqui, olha só:

p = n   .   R   .   T V - n   .   b - a .   n V 2

Oba! Temos todos os termos! Então vamos continuar…

p = 25   .   0,082   .   298 10 - 25   .   0,0318 - 1,36 .   25 10 2

p = 66,4 - 8,5

p = 57,9   a t m

Show de bola! Conseguimos!

Resposta

p = 57,9   a t m

Exercício Resolvido #5

Utilizando os dados da Tabela, faça o que se pede: Calcule usando a equação de van der Waals o volume ocupado por 1   m o l de gás carbônico na sua temperatura e pressão crítica.

Passo 1

Fala aí! Partiu resolver essa questãozinha!

O enunciado nos pede para usar a equação de Van Der Waals para encontrar o volume… Vamos relembrar ela então:

p = n   .   R   .   T V - n   .   b - a .   n V 2

Vamos precisar da pressão e temperatura críticas do gás carbônico… Podemos achar esse dado disponível na internet:

Para o gás carbônico temos:

P c = 72,85   a t m T c = 304,19   K

E usando a constante dos gases o R = 0,082   a t m   .   L / m o l   .   K

Agora vamos arrasar!

Passo 2

Ficaremos com o seguinte:

72,85 = 1   .   0,082   .   304,19 V - 1   .   4,29   .   10 - 2 - 3,610 .   1 V 2

72,85 = 24,94 V - 581,44 - 3,610 .   1 V 2

72,85 + 581,44 = 24,94 V - 3,610 V ²

24,94 V - 3,610 V ² = 654,29

Olha isso! Nosso volume está no denominador…

Podemos inverter todo mundo, né?

V 24,94 - V ² 3,610 = 1 654,29

0,04   V - 0,28 V ² = 0,0015

Nós caímos em uma equação de segundo grau, mas isso já é de se esperar quando estamos procurando o volume pelo modelo de Van Der Waals, né?

Vamos resolver da forma tradicional e verificar nossas raízes!

V 1 =   - 0,031   L V 2 = 0,174   L

Show! Sabemos que não vamos ter um volume negativo, então… Encontramos nosso volume!

V = 0,174   L

Uhul! Conseguimos!

Resposta

V = 0,174   L

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