Exercícios Resolvidos de Reflexão e Inversão de Pulsos em Corda

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Enunciado

Considere uma corda cuja tensão e a densidade linear são dadas por T e σ , respectivamente, e a equação de movimento é representada por

σ ∂ 2 ∂ t 2 y = T ∂ 2 ∂ x 2 y

  1. Considerando uma onda nesta corda escrita por
  2. y x ,   t = A s e n 2 π λ x - c t

    Obtenha c em termos de σ e T .

  3. Qual é o período da onda (2)? Tem que justificar a definição do período utilizado.
  4. Considere uma extremidade fixa em x = L . Depois que a onda (2) atinge a extremidade a forma da onda refletida pode ser escrita

y r x ,   t = A s e n 2 π λ - x - c t + B

Calcule o valor de B.

Passo 1

a):

Beleza, aqui a gente vai ter que primeiro reconhecer quem é c naquela fórmula:

Como:

k = 2 π λ

Então:

y r x , t = A s e n k x - c t = A s e n k x - k c t

Comparando com a formula geral das ondas:

y x , t = A s e n k x - ω t

Então:

k c = ω   → c = ω k

Mas pela relação:

k v = ω → v = ω k

Então:

c = v

Ou seja, c é a velocidade da onda.

Passo 2

Agora vamos usar a equação de onda pra resolver o resto da parada:

∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v x 2 . ∂ y 2 ∂ t 2

Então:

v 2 = ∂ 2 y ∂ t 2 ∂ 2 y ∂ x 2

Agora, olhando pra cá:

σ ∂ 2 ∂ t 2 y = T ∂ 2 ∂ x 2 y

A gente pode manipular isso e chegar em:

σ ∂ 2 ∂ t 2 y ∂ 2 ∂ x 2 y = T

σ v 2 = T

v 2 = T σ → v = T σ

Show? Mas lembrado que:

c = v → c = T σ  

Passo 3

b):

Como o comprimento de onda é dado como conhecido, afinal de contas ele aparece na fórmula, temos que:

v = c = λ T

Então:

T = λ c

Passo 4

c):

Pra a gente entender isso melhor, a gente pode analisar apenas um pulso dessa corda, ao invés de toda a onda. Um pulso, quando atingir uma extremidade fixa, vai mudar de direção e vai ficar inclinado para baixo, assim:

Legal, e o que acontece se essa pulso se encontrar com outro ali na fronteira, ou seja, na extremidade?

O que acontecerá se ele se encontrar com o pulso incidente?

Como um estará para cima e o outro pra baixo, eles vão se anular, certo?

Mais ou menos como acima. Bem, é isso, na ponta existira um nó, como em toda onda estacionária, afinal, essa onda refletida na extremidade vai voltar e gerar uma onda estacionária.

Passo 5

Então, o que podemos dizer sobre isso matematicamente. A função da onda incidente é:

y x ,   t = A s e n 2 π λ x - c t

Vamos chamar de:

φ 1 = 2 π λ x - c t

E a da refletida:

y r x ,   t = A s e n 2 π λ - x - c t + B

Vamos chamar de:

φ 2 = 2 π λ - x - c t + B

Então, podemos dizer que a soma das duas funções em L dá zero:

A s e n 2 π λ x - c t + A s e n 2 π λ - x - c t + B = 0

A s e n φ 1 + A s e n φ 2 = 0

s e n φ 1 + s e n φ 2 = 0

Só que, qual condição garante isso ai acima? Bom, vamos pensar: Se ambos os ângulos forem múltiplos de π , então a igualdade acima pode ser escrita. Mas se ambas as fases forem múltiplas de π , podemos escrever:

φ 2 - φ 1 = 2 n + 1 π

Ou seja, a diferença entre as fases é um múltiplo impar de π . Exemplo:

φ 1 = 2 π

φ 2 = π

Etc.

Então:

2 π λ - x - c t + B - 2 π λ x - c t = 2 n + 1 π

- 4 π λ x + B = 2 n + 1 π

Como x = L :

- 4 π λ L + B = 2 n + 1 π

B = 4 π λ L + 2 n + 1 π

Resposta

a):

c = T σ

b):

T = λ c

c):

B = 4 π λ L + 2 n + 1 π

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