Exercícios Resolvidos de Reflexão Ortogonal

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Enunciado

Seja W o subespaço de V = M 2 × 2 dado por:

W = 1 1 0 0 , 1 - 1 0 0 , 0 0 0 1

a   Determine W ⊥ , o complemento ortogonal de W .

b   Determine uma base ortogonal para V a partir de W e W ⊥ . Dica: V = W ⊕ W ⊥ .

c   Determine a matriz do operador reflexão sobre W na base acima.

Passo 1

Letra a

Como não foi falado nada, usaremos o produto interno usual! Queremos uma matriz que seja ortogonal à todas as matrizes da base de W , então:

a b c d , 1 1 0 0 = a + b = 0 a b c d , 1 - 1 0 0 = a - b = 0 a b c d , 0 0 0 1 = d = 0

Logo, temos que a = b = d = 0 . Então:

W ⊥ = 0 0 1 0

Passo 2

b Como a soma de um subespaço com seu complemento ortogonal é sempre direta, temos que podemos obter uma base para V simplesmente unindo as bases de W e W ⊥ :

α = 1 1 0 0 , 1 - 1 0 0 , 0 0 0 1 , 0 0 1 0

O único cuidado que precisamos ter é que ele pede uma base ortogonal! Sabemos que 0 0 1 0 é ortogonal às outras matrizes já que ele pertence ao W ⊥ , mas será que os vetores da base de W são ortogonais? Fazendo o produto interno dois a dois temos que:

1 1 0 0 , 1 - 1 0 0 = 1 - 1 = 0

1 - 1 0 0 , 0 0 0 1 = 0

1 1 0 0 , 0 0 0 1 = 0

Então, de fato, nossa base α é ortogonal XD.

Passo 3

Letra c

Queremos a matriz reflexão sobre W na base que achamos para V . Bom, sabemos o seguinte sobre a reflexão:

Se v → ∈ W , R W v → = v → . Logo, v → é autovetor associado à λ = 1

Se v → ∈ W ⊥ , R W v → = - v → . Logo, v → é autovalor associado à λ = - 1

Como a base α que encontramos só possui elementos de W e W ⊥ , ela é uma base de autovetores! Logo, a matriz escrita nessa base será a matriz diagonal de autovalores:

R W α α = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 - 1

Só precisamos tomar cuidado com a ordem! Na nossa base α a matriz que pertencia à W ⊥ vinha por último, então na matriz diagonal o - 1 também deve vir por último!!

Resposta

a W ⊥ = 0 0 1 0

b α = 1 1 0 0 , 1 - 1 0 0 , 0 0 0 1 , 0 0 1 0

c R W α α = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 - 1