Exercícios Resolvidos de Rotação de Corpos Rígidos

Ver Teoria

Enunciado

Um moinho usa um arranjo de polias e correias para transmissão de potência. Quando t = 0 , um motor elétrico está girando a polia A com velocidade angular ω A = 5   r a d / s . Se a polia está sujeita a uma aceleração angular de 2   r a d / s 2 , determine a velocidade angular da polia B após esta ter executado 6 revoluções. O cubo em D está rigidamente conectado à polia C , girando com ela.

Passo 1

Nesse exercício temos que trabalhar com as fómulas de transmissão de movimento entre as polias, tanto de velocidade angular:

ω A r A =   ω B r B

Quanto de aceleração angular:

α A r A =   α B r B

A polia A possui uma velocidade angular inicial de ω A = 5   r a d / s , então vamos ir transmitindo isso para as outras polias até acharmos a velocidade angular inicial da polia B .

Repare que a polia A está conectada à polia C , então:

ω A r A =   ω C r C       →             5 4,5 = ω C ( 5 )

ω C = 4,5   r a d / s

Observe que a polia D está conectado com a polia C , girando com ela. Então, a polia D realiza os mesmos movimentos que a polia C :

ω D = ω C = 4,5   r a d / s

Agora repare que a polia D está conectada pela corda com a polia B , então vamos ter que:

ω B r B =   ω D r D         →           ω B ( 4 ) =   4,5 ( 3 )

ω B = 3,375   r a d / s

Opa, já temos a velocidade da polia B quando t = 0 !

Passo 2

Nosso próximo passo é trabalhar com a aceleração. Como a polia A foi submetida a uma aceleração angular constante, quando ela for transmitindo seu movimento, cada polia terá sua própria velocidade angular constante.

A polia A está conectada com a polia C , então vamos ter que:

α A r A =   α C r C         →           2 ( 4,5 ) =   α C ( 5 )

α C = 1,8   r a d / s 2

Como vimos antes, a polia D está conectada rigidamente à polia C , logo todo movimento que C faz, a polia D também vai fazer. Então:

α D = α C = 1,8   r a d / s 2

Como a polia D está ligada à polia B , a sua aceleração será:

α B r B =   α D r D         →           α B ( 4 ) =   1,8 ( 3 )

α B = 1,35   r a d / s 2  

Essa é a aceleração angular da polia B e ela é constante assim como a aceleração angular da polia A também é constante.

Passo 3

Agora temos que calcular a velocidade angular final da polia B após ela ter dado 6 revoluções.

Para isso temos que saber que:

1   r e v = 2 π   r a d

Então, para 6 revoluções teremos:

6   r e v = 12 π   r a d

Esse é o deslocamento angular da polia B .

Como a aceleração angular é constante, temos que procurar uma equação que relacione velocidade angular e deslocamento angular:

( ω B ) f 2 = ( ω B ) 0 2 + 2 α B θ f - θ 0

O deslocamento inicial ( θ 0 )da polia B é zero, então:

( ω B ) f 2 = ( ω B ) 0 2 + 2 α B θ f - θ 0       →           ( ω B ) f 2 = 3,375 2 + 2 ( 1,35 ) ( 12 π )

( ω B ) f = 113,178

( ω B ) f = 10,6   r a d / s

Resposta

( ω B ) f = 10,6   r a d / s

Exercícios de Livros Relacionados

54. O pinhão A roda sobre a cremalheira fixa B com uma velocidade angular ω = 4 r a d s . Determine a velocidade da cremalheira C.