Exercícios Resolvidos de Rotação de Corpos Rígidos

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Enunciado

O volante possui um diâmetro de 600   m m e gira com uma velocidade cada vez maior em torno de sua árvore no eixo z . Quando o ponto P sobre a borda cruza o eixo y com θ = 90 ° , possui uma aceleração dada por a =   - 1,8 i ^ - 4,8 j ^   m / s 2 . Para esse instante, determine a ) a velocidade angular ω e b ) a aceleração angular α do volante.

Passo 1

Primeiro vamos entender o que está acontecendo. O volante está girando com uma velocidade que está crescendo, logo ele tem uma aceleração com duas componentes. Quando o ponto P tem um ângulo de 90 ° , ele possui essa aceleração aqui:

a =   - 1,8 i ^ - 4,8 j ^   m / s 2

Que pode ser escrita nas suas componentes x e y :

a x = - 1,8

a y = - 4,8

Então, vamos ter os seguintes vetores:

Passo 2

Agora vamos achar a velocidade angular ω do volante. Para isso, vamos usar a componente centrípeta da aceleração ( a n ).

A aceleração centrípeta sempre aponta para o centro da curva, então ela será equivalente ao nosso vetor a y .

a y =   a n

Lembra como se calcula a aceleração centrípeta?

a n =   ω 2 r

Opa, olha quem apareceu aí. É justamente a velocidade angular ω que queremos saber. Já sabemos que r = 0,3   m e a n =   a y = 4,8 . Agora é só alegria:

4,8 =   ω 2 ( 0,3 )

Então:

ω =   4,8 0,3

ω = 4   r a d / s

E o sentido da velocidade angular? É só usar a regra da mão direita:

Passo 3

Repare que a velocidade varia no tempo, portanto a aceleração tem componente tangencial que é responsável pela mudança do módulo da velocidade. A componente tangencial é aquele vetor que tangencia a curva, certo? Então vamos ter:

a x =   a t

E como se calcula a aceleração tangencial mesmo? É assim né:

a t =   α r

O raio nós sabemos que é r = 300   m m = 0,3   m e a aceleração tangencial nós também conhecemos que é a t = a x =   1,8 . Então, podemos achar a aceleração angular α do volante:

a t =   α r       →         1,8 =   α ( 0,3 )

α =   6   r a d / s 2  

Não usei o sinal, porque estamos calculando o módulo. E quanto ao sentido da aceleração angular? Ela terá o mesmo sentido do vetor velocidade angular ω , porque ω está aumentando. Ou seja, aponta no sentido positivo do eixo z .

Resposta

a )   ω = 4   r a d / s

b )   α =   6   r a d / s 2

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