Exercícios Resolvidos de Rotação de Corpos Rígidos

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Enunciado

A placa O A B forma um triângulo equilátero que gira no sentido anti-horário com velocidade crescente em torno do ponto O . Se as componentes normal e tangencial da aceleração do centróide C em um determinado instante são 80   m / s 2 e 30   m / s 2 , respectivamente, determine os valores de a ) θ ˙ e b )   θ ¨ nesse mesmo instante. O ângulo θ é o ângulo entre a linha A B e o eixo horizontal fixo.

Passo 1

Primeiro vamos posicionar as coordenadas normal e tangencial ( n - t ) no centróide da peça:

Não esqueça que o eixo t aponta no sentido do movimento (anti-horário) e o eixo n aponta para o centro da curva que o movimento faz. Ou seja, como o corpo gira em torno do ponto O , o eixo n aponta para este ponto.

Vamos colocar agora os vetores aceleração que foi dado no enunciado:

Lembra que a velocidade angular ω também pode ser chamada de θ ˙ e a aceleração angular α também pode ser representada por θ ¨ . É justamente isso que o enunciado faz!

A aceleração tem duas componentes: uma tangencial à trajetória (aceleração tangencial) e outra normal à trajetória circular (aceleração centrípeta):

a n = 80

a t = 30

Lembra a fórmula da aceleração centrípeta?

a n =   ω 2 r

Vamos usar esta fórmula para achar a velocidade angular ω do centróide. Mas para isso temos que achar o raio da trajetória circular que o centróide faz. Vamos ter o seguinte círculo:

Passo 2

Vamos ter que lembrar de como é um triângulo equilátero para calcular o raio r :

Para calcular o raio r vamos usar o seguinte triângulo:

cos ⁡ 30 ° = 0,075 r       →           r = 0,075 cos ⁡ 30 °

r = 0,0866   m

Agora podemos calcular a velocidade angular do ponto C :

a n =   ω 2 r     →         80 =   ω 2 ( 0,0866 )

ω = 30,40   r a d / s

Podemos escrever também:

θ ˙ = 30,40   r a d / s

Passo 3

Nosso próximo passo é calcular a aceleração angular α do ponto C . Para isso, vamos usar a equação da aceleração tangencial:

a t =   α r

Sabemos que a t = 30 e r = 0,0866   m , então:

a t =   α r     →         30 =   α ( 0,0866   )

α = 346 ,   42   r a d / s 2

Resposta

a )   ω = θ ˙ = 30,40   r a d / s

b )   α = θ ¨ = 346 ,   42   r a d / s 2

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