Exercícios Resolvidos de Rotação de Corpos Rígidos

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Enunciado

Partindo do repouso quando s = 0 , a polia A tem aceleração α = ( 6 θ ) r a d / s 2 , onde θ é dado em radianos. Determine a velocidade do bloco B quando ele atinge a posiç��o s = 6   m . A polia tem um cubo interno D que está fixo em C e gira com ela.

Passo 1

Quando temos duas polias ligadas por uma corda, nós vimos que o tanto que a corda andar na polia A é o mesmo tanto que ela vai andar na polia C . Ou seja, o deslocamento da corda tanto na polia A quanto na polia C deve ser o mesmo:

θ A r A =   θ C r C

Repare que o bloco B está ligado a polia D por uma corda, então quando a polia D começar a girar vai levantar o bloco B . E seguindo o mesmo raciocínio de antes, conforme a polia D girar ela vai enrolar a corda em torno de si. Vamos fazer um esqueminha para entendermos melhor.

Na situação inicial, quando s = 0 , temos:

Quando as polias começarem a girar vamos ter:

Escrevendo isso matematicamente, temos:

s =   θ D r D

Mas repare que a polia D está fixa na polia C e gira com ela, de modo que:

θ D =   θ C

Vamos substituir isso na equação de s :

s =   θ C r D

Agora, vamos isolar o θ C nas duas equações que temos até agora que são:

θ A r A =   θ C r C

E:

s =   θ C r D

Isolando θ C , vamos ter:

θ C =   θ A r A r C

E:

  θ C = s r D  

Igualando essas equações, teremos:

θ A r A r C = s r D

Vamos isolar θ A , porque no enunciado foi dada a aceleração da polia A :

θ A = s   r C r A r D

Passo 2

Vamos pensar em outra relação entre as duas polias. Lembre que a velocidade da corda é sempre a mesma esteja ela passando pela polia A ou pela polia C , então:

ω A r A =   ω C r C

ω C =   ω A r A r C

Mas o que queremos saber é a velocidade do bloco B, não é mesmo?

v B =   ω D r D

Para calcular a velocidade angular ω , usamos a seguinte equação:

ω =   d θ d t

Mas lembra que a polia C e a polia D estão girando juntas? Desse modo que θ D =   θ C . Então, essas duas polias têm a mesma variação do ângulo   θ em relação ao tempo, portanto vão ter a mesma velocidade angular:

ω C = ω D

Podemos dizer, então que:

v B =   ω D r D     →         v B =   ω C r D

ω C =   v B r D

Agora, vamos substituir ω C na seguinte equação:

ω C =   ω A r A r C   →       v B r D = ω A r A r C    

  v B = ω A r A r D r C

Passo 3

Até agora temos duas equações:

θ A r A r C = s r D

E:

  v B = ω A r A r D r C

Temos que arranjar um jeito dessas duas equações virar uma só. Vamos achar as variáveis que se repetem nas duas equações: r A e r C . Vamos isolar essas variáveis em ambas as equações:

r A r C = s θ A r D

E:

r A r C =   v B ω A r D

Vamos igualar as equações e isolar o que queremos saber que é o   v B :

  v B ω A r D =   s θ A r D

  v B =   s   ω A r D θ A r D

Simplificando, temos:

  v B =   s   ω A θ A

Passo 4

Agora temos que dar um jeito de achar uma relação entre a velocidade angular e a deslocamento angular da polia A . Qual é a equação que relaciona essas duas variáveis?

α   d θ =   ω   d ω

Opa, vamos ter que integrar o lado esquerdo com relação a θ e o lado direito com relação a ω :

∫ θ 0 θ α A   d θ =   ∫ ω 0 ω ω A   d ω

Lembrando que o enunciado disse que α = ( 6 θ ) . Vamos colocar isso na nossa integral:

∫ θ 0 θ ( 6 θ A )   d θ =   ∫ ω 0 ω ω A   d ω

6 2 θ A 2 | θ 0 θ =   1 2 ω A 2 | ω 0 ω

Sabemos que o sistema partiu do repouso então ω 0 = 0 e θ 0 = 0 . Vamos ter que:

3 θ A 2 =     ω A 2 2

ω A =   θ A   6

Vamos substituir nesta equação aqui:

  v B =   s   ω A θ A   →       v B =   s   ( θ A   6 ) θ A

Simplificando vamos ter:

  v B = s 6

Então, quando s = 6 m, a velocidade do bloco B será:

  v B = s 6   →         v B = ( 6 ) 6

  v B = 14,70   m / s

Resposta

  v B = 14,70   m / s

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