Exercícios Resolvidos de Sistemas de EDO

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Enunciado

Resolva o sistema

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos dá o seguinte sistema de equações diferenciais

e precisamos encontrar uma solução! Existe todo um processo para encontrar a solução deste problema usando autovalores e autovetores de uma matriz relacionada, o primeiro passo então! Será escrever o nosso sistema de equações no formato de uma matriz! Vamos lá!

Passo 2

Em forma de matrizes e vetores, temos que

Sistemas de equações lineares tem solução da seguinte forma

X → ( t ) = C 1 ξ → 1 e λ 1 t + C 2 ξ → 2 e λ 2 t

nós temos que λ 1 e λ 2 são os autovalores relacionados aos autovetores ξ → 1 e ξ → 2 . Eles obedecem a seguinte relação

[ A - λ 𝟙 ] ξ → = 0 →

em que os autovalores são obtidos através do polinômio característico obtido como

d e t [ A - λ 𝟙 ] = 0

em que a matriz A é dada por

Vamos tentar resolver isso agora! Vem comigo!

Passo 3

Primeiro, temos que escrever a matriz A - λ 𝟙 , ela é da forma

o determinante desta matriz é tal que

( 2 - λ ) ( 4 - λ ) - ( - 1 ) ( 1 ) = 8 - 2 λ - 4 λ + λ 2 + 1

Juntando os termos e igualando a zero, temos que

λ 2 - 6 λ + 9 = 0

Aplicando Bhaskara temos que

λ 12 = - ( - 6 ) ± ( - 6 ) 2 - 4 ( 1 ) ( 9 ) 2 ( 1 ) = 6 ± 36 - 36 2

Portanto, temos dois autovalores repetidos da forma

λ 1 = λ 2 = 3

Vamos construir agora nossos autovetores! Saca só!

Passo 4

Usando a relação para os autovetores com λ = 3 , temos que

Usando que ξ → é um vetor com duas componentes, podemos fazer o produto de matrizes para obter

- ξ 1 - ξ 2 = 0

Ou seja, nosso vetor tem que obedecer a relação ξ 2 = - ξ 1 , ou seja, podemos usar o seguinte autovetor

ξ → = ( - 1,1 )

Em geral usamos o outro autovalor para obter outro autovetor, mas nossos autovalores são exatamente iguais, portanto, não é possível obter um segundo autovetor ortogonal ao que encontramos. Vamos ter que utilizar uma outra relação! Saca só!

Passo 5

A relação usual para se obter outro vetor ortogonal é tal que

[ A - λ 𝟙 ] η → = ξ →

utilizando o vetor que obtivemos no passo anterior, e a matriz que construímos, temos que resolver

As equações resultantes são tal que

- η 1 - η 2 = - 1

e, também

η 1 + η 2 = 1

Como esperado, as duas equações são as mesmas, e portanto, temos que o vetor desejado irá obedecer η 2 = 1 - η 1 . Se escolhermos que η 1 = 0 , iremos obter que

η → = ( 0,1 )

Vamos escrever finalmente a nossa solução! Para o caso de autovalores repetidos, a solução para o sistema de equações diferenciais com autovalores é repetidos é tal que

X → ( t ) = C 1 e 2 t ξ → + C 2 [ t e 2 t ξ → + e 2 t η → ]

ou seja, nossa solução é

Agora é só aplicar as condições iniciais! Então bora lá!

Passo 6

Em t = 0 , temos que x 1 ( 0 ) = 1 e x 2 ( 0 ) = - 2 , portanto, a nossa solução obedece a seguinte relação

O que é equivalente ao sistema de equações lineares da forma

1 = - C 1

e, também

- 2 = C 1 + C 2

como temos que C 1 = - 1 , temos que C 2 = - 1 também! E assim, a solução se torna

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

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