Exercícios Resolvidos de Sistemas de EDO

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Enunciado

Use a Transformada de Laplace para resolver o seguinte Problema de Valor Inicial:

y ' ' - y ' - 6 y = 0 ,     y 0 = 1 ,     y ' 0 = - 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

Provavelmente você já resolveu esse tipo de problema pelo método da equação característica, agora o enunciado pede pra nós resolvermos usando a transformada de Laplace.

Nosso PVI é:

y ' ' - y ' - 6 y = 0     y 0 = 1     y ' 0 = - 1

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace é linear, então temos:

L y ' ' - y ' - 6 y = L y ' ' - L y ' - 6 L y = 0

Agora vamos aplicar aquela propriedade da Transformada da derivada, lembra dela?

L y ' = s L y - y ( 0 )

L y ' ' = s 2 L y - s y 0 - y ' ( 0 )

Substituindo na equação, temos:

s 2 L y s - s y ( 0 ) - y ' 0 - s L y - y 0 - 6 L y = 0

Passo 2

Agora vamos substituir os valores iniciais e isolar L y :

Como y 0 = 1 e y ' 0 = - 1 , temos:

s 2 L y - s + 1 - s L y - 1 - 6 L y = 0

s 2 L y - s + 1 - s L y + 1 - 6 L y = 0

L y s 2 - s - 6 = s - 2

L y = s - 2 s 2 - s - 6

Passo 3

Agora vamos decompor a expressão que encontramos em frações parciais.

As raízes de s 2 - s - 6 são 3 e - 2 , portanto, podemos escrever s 2 - s - 6 = ( s - 3 ) ( s + 2 ) .

s - 2 s 2 - s - 6 = a s - 3 + b s + 2

Temos que juntar tudo agora para achar essas constantes a e b :

s - 2 s 2 - s - 6 = a s + 2 + b ( s - 3 ) ( s - 3 ) ( s + 2 ) = a s + 2 a + b s - 3 b s 2 - s - 6

Juntando os termos pelos graus de s :

L y = s - 2 s 2 - s - 6 = s a + b + ( 2 a - 3 b ) s 2 - s - 6

Como o denominador já o mesmo, temos:

s - 2 = s a + b + ( 2 a - 3 b )

Portanto,

a + b = 1         2 a - 3 b = - 2

→ a = 1 - b

2 1 - b - 3 b = - 2   →   b = 4 5

a = 1 - 1 4       →     a = 1 5

Agora que já temos os coeficientes a e b , basta reescrever as frações que criamos:

L y = s - 2 s 2 - s - 6 = 1 / 5 s - 3 + 4 / 5 s + 2

Passo 4

Agora que já temos as frações parciais, precisamos reconhecer a função y pela sua transformada. Ou seja, achar a transformada inversa!

Lembra que L e a t = 1 / ( s - a ) ? Essa transformada é muito parecida com cada uma das frações parciais, não é? Vamos, então, reescrever essas frações para reconhecer a função.

L y = 1 5 ∙ 1 s - 3 + 4 5 ∙ 1 s + 2

L y = 1 5 L e 3 t + 4 5 L e - 2 t

L y = L 1 5 e 3 t + 4 5 e - 2 t

Portanto, y é exatamente a expressão dentro dos colchetes da transformada:

y = 1 5 e 3 t + 4 5 e - 2 t

E encontramos nossa solução. Valeu, galera! 😉

Resposta

y = 1 5 e 3 t + 4 5 e - 2 t

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