Exercícios Resolvidos de Sistemas de EDO

CEFET – EDO – P2 Roberto Sá 2010 – 2

Para o sistema S : 1 x ' = 4 x - 2 y + 2 u 1 t ,     x 0 = 1   : 2   y ' = 3 x - y + u 1 t ,   y 0 = 3 2 . Use Laplace e calcule x ( t ) .

Passo 1

Então o sistema é:

x ' = 4 x - 2 y + 2 u 1 t x 0 = 1 y ' = 3 x - y + u 1 t y 0 = 3 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, vamos aplicar Laplace no sistema:

L x ' = 4 L x - 2 L y + 2 L u 1 t L y ' = 3 L x - L y + L u 1 t

Mas sabemos que

L x ' = s L x - x 0 L y ' = s L y - y ( 0 )

Utilizando as condições iniciais que ele deu:

L x ' = s L x - 1 L y ' = s L y - 3 2

Então simbora, substituindo isso no sistema:

s L x - 1 = 4 L x - 2 L y + 2 L u 1 t s L y - 3 2 = 3 L x - L y + L u 1 t

Para facilitar, vamos chamar assim:

X s = L x Y s = L y

Assim fica:

s X ( s ) - 1 = 4 X ( s ) - 2 Y ( s ) + 2 L u 1 t s Y ( s ) - 3 2 = 3 X ( s ) - Y ( s ) + L u 1 t

Colocando X ( s ) e Y ( s ) no lado esquerdo:

s - 4 X s + 2 Y s = 1 + 2 L u 1 t - 3 X s + s + 1 Y s = 3 2 + L u 1 t

Sabemos que:

L u 1 t = e - s s

Assim fica:

s - 4 X s + 2 Y s = 1 + 2 e - s s - 3 X s + s + 1 Y s = 3 2 + e - s s

Agora vou colocar o Y ( s ) em evidência na primeira equação:

Y s = 4 - s X s 2 + 1 2 + e - s s

Substituindo isso na segunda equação:

- 3 X s + s + 1 4 - s X s 2 + 1 2 + e - s s = 3 2 + e - s s

Desenvolvendo:

- 3 X s + - s 2 + 3 s + 4 X s 2 + s + 1 2 + ( s + 1 ) e - s s = 3 2 + e - s s

Multiplicando tudo por 2 :

- 6 X s + - s 2 + 3 s + 4 X s + s + 1 + 2 ( s + 1 ) e - s s = 3 + 2 e - s s

- s 2 - 3 s + 2 X s = - ( s - 2 ) + 2 e - s s - 2 ( s + 1 ) e - s s

s 2 - 3 s + 2 X s = s - 2 + 2 e - s

Colocando X ( s ) em evidência:

X s = s - 2 s 2 - 3 s + 2 + 2 e - s s 2 - 3 s + 2 = s + 2 e - s - 1 s 2 - 3 s + 2

Completando o Quadrado perfeito:

s 2 - 3 s + 2 = s 2 - 3 s + 9 4 - 9 4 + 2 = s - 3 2 2 - 1 4

E também podemos abrir isso:

s - 3 2 2 - 1 4 = s - 3 2 + 1 4 s - 3 2 - 1 4 = ( s - 1 ) ( s - 2 )

Viu? Nem ficou tão feio! ;D

X s = s + 2 e - s - 1 ( s - 1 ) ( s - 2 ) = s + 2 e - s - 1 1 s - 1 s - 2

Agora vou abrir em frações parciais:

1 s - 1 s - 2 = A s - 1 + B s - 2 = A s - 2 A + B s - B s - 1 s - 2 = A + B s - 2 A - B s - 1 s - 2 Igualando os coeficientes:

- 2 A - B = 1 A + B = 0 A = - B

Substituindo a equação 2 na 1 :

- 2 - B - B = 1 B = 1 A = - 1

Assim:

1 s - 1 s - 2 = - 1 s - 1 + 1 s - 2

Substituindo isso:

X s = s + 2 e - s - 1 - 1 s - 1 + 1 s - 2

X s = - s s - 1 + s s - 2 - 2 e - s s - 1 + 2 e - s s - 2 + 2 1 s - 1 - 2 1 s - 2

Passo 3

O paranauê ficou assim:

X s = - s s - 1 + s s - 2 - 2 e - s s - 1 + 2 e - s s - 2 + 2 1 s - 1 - 2 1 s - 2

Agora temos que calcular a inversa de cada um:

Pro primeiro, faça divisão polinomial que você vai achar esse paranauê:

- s s - 1 = - 1 - 1 s - 1

L - 1 - 1 - 1 s - 1 = - δ t - e t

L - 1 s s - 2 = L - 1 1 + 1 s - 2 = δ t + e 2 t

L - 1 - 2 e - s s - 1 = - 2 e t - 1 u 1 ( t )

L - 1 2 e - s s - 2 = 2 e 2 ( t - 1 ) u 1 ( t )

L - 1 2 1 s - 1 = 2 e t

L - 1 - 2 1 s - 2 = - 2 e 2 t

Então ficou:

x t = - δ t - e t + δ t + e 2 t - 2 e t - 1 u 1 t + 2 e 2 t - 1 u 1 t + 2 e t - 2 e 2 t

Por fim:

x t = - e t + e 2 t + 2 u 1 t ( - e t - 1 + e 2 t - 1 )

Resposta

x t = - e t + e 2 t + 2 u 1 t ( - e t - 1 + e 2 t - 1 )

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