Exercícios Resolvidos de Sistemas de EDO

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Enunciado

Utilize a transformada de Laplace para determinar funções x t , y t satisfazendo x 0 = 0 y 0 = 8 , x ' 0 = 0 , y ' 0 = 0 e:

d 2 x d t 2 + d 2 y d t 2 = t 2

d 2 x d t 2 - d 2 y d t 2 = 4 t

Passo 1

Vamos escrever o sistema de uma forma mais fácil de visualizar: x ' ' + y ' ' = t 2

x ' ' - y ' ' = 4 t

Aqui, de cara, podemos ser bem sagazes e fazer uma equação mais a outra:

x ' ' + y ' ' + x ' ' - y ' ' = t 2 + 4 t

2 x ' ' = t 2 + 4 t

Viu?! Já tiramos o y da jogada num toque só! Agora vamos aplicar a transformada de Laplace nessa equação: L 2 x ' ' = L t 2 + 4 t

2 L x ' ' = L t 2 + 4 L t

Vamos considerar L y = Y s e L x = X s para facilitar a escrita e lembremos que: L x ' ' = s 2 X s - s x 0 - x ' 0

Substituindo os valores dado no enunciado: L x ' ' = s 2 X s

Beleza, então a equação vai ficar:

2 L x ' ' = L t 2 + 4 L t

2 s 2 X s = 2 s 3 + 4 s 2

Isolando X s :

X s = 1 s 5 + 2 s 4

Beleza, achamos X s , vamos usar seu valor para achar Y s agora. Sabemos que: L y ' ' = s 2 Y s - s y 0 - y ' 0

Substituindo os dados do problema: L y ' ' = s 2 Y s - 8 s

Assim, substituindo na segunda equação do sistema:

s 2 X s - s 2 Y s + 8 s = 4 s 2

Substituindo o valor de X s : 1 s 3 + 2 s 2 - s 2 Y s + 8 s = 4 s 2

Assim, isolando Y ( s ) :

Y s = 1 s 5 - 2 s 4 + 8 s

Para encontra x t e y t , basta determinar as inversas agora. Vamos fazer isso.

Passo 2

Temos que:

X s = 1 s 5 + 2 s 4

Então: x t = L - 1 1 s 5 + 2 s 4

x t = L - 1 1 s 5 + 2 L - 1 1 s 4

Temos que:

L - 1 n ! s n + 1 = t n

Então: L - 1 4 ! s 5 = t 4

4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 L - 1 1 s 5 = t 4

L - 1 1 s 5 = t 4 24

Além disso, temos: L - 1 3 ! s 4 = t 3

Assim: L - 1 1 s 4 = t 3 6

Então:

x t = L - 1 1 s 5 + 2 L - 1 1 s 4

x t = t 4 24 + t 3 3

Legal, vamos determinar y t agora.

Passo 3

Temos que: Y s = 1 s 5 - 2 s 4 + 8 s

Então: y t = L - 1 1 s 5 - 2 s 4 + 8 s

y t = L - 1 1 s 5 - 2 L - 1 1 s 4 + 8 L - 1 1 s

y t = t 4 24 - t 3 3 + 8

Resposta

x t = t 4 24 + t 3 3

y t = t 4 24 - t 3 3 + 8

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