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Exercícios Resolvidos de Sistemas de primeira ordem

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Enunciado

Considere um sistema de primeira ordem cuja relação entrada-saída é dada por:

Y s R s = b s + a

Com relação ao desempenho desse sistema, é correto afirmar que

a) Se a entrada é em degrau, a resposta alcança mais de 98% do seu valor final quando t = 3 a .

b) Quanto menor for o valor de a , mais rapidamente a resposta ao impulso unitário do sistema decai para zero.

c) Quanto maior o valor de a , menor o erro estacionário ao seguir uma entrada em rampa.

d) Quando t = a , a resposta alcança o valor 63,2% da sua variação total, caso a entrada seja em degrau.

Passo 1

Antes de analisarmos item a item, vamos pegar nussa função de transferência e coloca-la no nosso modelo padrão, para isso, vamos dividir numerador e denominador por a .

Y s R s = b / a 1 a s + 1

Sendo assim:

K = b a

τ = 1 a

Passo 2

Vamos analisar item a item então.

No item (a), o enunciado diz que para uma entrada dedegrau, a resposta alcança 98 % do valor final em t = 3 a , ou seja, t = 3 τ .

Nós sabemos que para a entrada degrau, a nossa função no tempo ficará da seguinte forma:

y t = K A 1 - e - t τ

Vamos substituir então t = 3 τ , e ver o que encontramos:

y t = K A 1 - e - 3

y t = 0,95 K A

Portanto, a afirmação é incorreta.

Passo 3

Na alternativa (b) o enunciado afirma que quanto menor for a mais rapidamente a resposta cai para 0 para a entrada impulso unitário.

A entrada impulso unitário tem função de transferência igual a 1 , ou seja, R s = 1 . Sendo assim:

Y s = b / a 1 a s + 1

Fazendo a inversa:

y t = b a e - a t

Sendo assim, quanto maior for o valor de a , mais rapidamente a resposta se aproximará de 0 , e portanto, a afirmação é incorreta.

Passo 4

O item (c) afirma que quanto maior o valor de a , menor será o erro no estado estado estacionário para a entrada rampa.

Para a entrada rampa, nós vimos na nossa teoria que:

y t = K r τ e - t τ + K r t - τ u ( t )

Onde K é o ganho e r é a inclinação da rampa.

Podemos perceber que no estado estacionário (tempo infinito), o primeiro termo da expressão tenderá a 0 , e a resposta y ( t ) , será diretamente proporcional ao ganho K .

Como K = b a , quanto maior for o valor de a , menor será o ganho da função de transferência, e consequentemente, menor será o erro no estado estacionário.

Portanto essa alternativa é verdadeira.

Passo 5

A última alternativa diz que para a entrada rampa, a resposta atinge 63,2 % do valor final quando t = a .

Pela expressão para a entrada degrau que vimos no passo 2, podemor perceber que a resposta atinge esse valor quando t = τ :

y t = K A 1 - e - t τ

0,632   K A = K A   1 - e - t τ

1 - e - t τ = 0,632

e - t τ =   0,368

- t τ =   - 1

t = τ

Como, no nosso exemplo, τ = 1 a , essa afirmativa também está incorreta.

Resposta

c) Quanto maior o valor de a , menor o erro estacionário ao seguir uma entrada em rampa.